Integralrechnung < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:27 Mi 26.08.2009 | | Autor: | ich.... |
| Aufgabe | Schreiben Sie den Inhalt der gefärbten Fläche als Intergral.
y = 1/ x² - 1 |
Hallo,
Also meine Aufgabe war es also die gefärbte Fläche als Integral zu schreiben.
[mm] \integral_{-4}^{-1}{( 1 / x^2 - 1 ) dx}
[/mm]
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] = [ k [mm] /(n+1)](b^n+1 [/mm] - [mm] a^n+1)
[/mm]
Wenn ich Versuche das zu berechnen,habe ich immer wie folgt gerechnet :
[mm] \integral_{-4}^{-1}{( 1 / x^2 - 1 ) dx} [/mm] = [ 1 / 1 / [mm] x^2+1]([-1]^2+1 [/mm] - [mm] [-4]^2+1)
[/mm]
= [ 1 / 1/3 ] (-1 + 64)
= 3 * 63 = 189
Aber 189 kann das nicht sein. Ich habe mit dieser Rechnung die Verschiebung in der Y-Achse nicht beachtet und habe auch keine Ahnung wie ich das machen soll.
Also als Lösung hat mir der Taschenrechner -2,25 gegeben.
Danke,
Hai
|
|
| |
|
Hallo du,
> Schreiben Sie den Inhalt der gefärbten Fläche als
> Intergral.
Ich sehe keine Färbung, nur schwer lesbares Formel- und Zeichenwirrwar schwarz auf weiß ...
> y = 1/ x² - 1
> Hallo,
>
> Also meine Aufgabe war es also die gefärbte Fläche als
> Integral zu schreiben.
>
> [mm]\integral_{-4}^{-1}{( 1 / x^2 - 1 ) dx}[/mm]
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm] = [ k [mm]/(n+1)](b^n+1[/mm] - [mm]a^n+1)[/mm]
Woher kommt das k in dieser Formel?
>
> Wenn ich Versuche das zu berechnen,habe ich immer wie folgt
> gerechnet :
>
> [mm]\integral_{-4}^{-1}{( 1 / x^2 - 1 ) dx}[/mm] = [ 1 / 1 /
> [mm]x^2+1]([-1]^2+1[/mm] - [mm][-4]^2+1)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> = [ 1 / 1/3 ] (-1 + 64)
> = 3 * 63 = 189
>
> Aber 189 kann das nicht sein. Ich habe mit dieser Rechnung
> die Verschiebung in der Y-Achse nicht beachtet und habe
> auch keine Ahnung wie ich das machen soll.
Das ist alles recht schwer zu lesen, bitte benutze doch den Formeleditor.
Wenn ich mir das richtig zusammenreime, gilt es $\int\limits_{-4}^{-1}{\left(\frac{1}{x^2}-1\right) \ dx}$ zu berechnen ...
Das würde zumindest dem Ergebnis deines TR entsprechen
Hier nochmal die Formel: $\int{x^n \ dx}=\frac{1}{n+1}\cdot{}x^{n+1} \ + \ C$ für alle $n\in\IR, n\neq -1$
Schreibe das Integral um: $\int\limits_{-4}^{-1}\left(\frac{1}{x^2}-1\right) \ dx}=\int\limits_{-4}^{-1}\left(x^{-2}-1\right) \ dx}$
Das nun summandenweise integrieren, den ersten Summanden, also $x^{-2}$ gem. der Formel:
$=\left[\frac{1}{-2+1}\cdot{}x^{-2+1}-x\right]_{-4}^{-1} \ = \ \left[\frac{1}{-1}\cdot{}x^{-1}-x\right]_{-4}^{-1}$
$=\left[-\frac{1}{x}-x\right]_{-4}^{-1}$
Nun setze die Grenzen ein und rechne den Klumpatsch aus.
Achte auf die vielen Minüsse 
>
> Also als Lösung hat mir der Taschenrechner -2,25 gegeben.
>
> Danke,
>
> Hai
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:48 Mi 26.08.2009 | | Autor: | ich.... |
Ok Danke,
Ich werd es mir nochma anschauen :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:59 Mi 26.08.2009 | | Autor: | ich.... |
> Hallo du,
>
> > Schreiben Sie den Inhalt der gefärbten Fläche als
> > Intergral.
>
> Ich sehe keine Färbung, nur schwer lesbares Formel- und
> Zeichenwirrwar schwarz auf weiß ...
>
> > y = 1/ x² - 1
> > Hallo,
> >
> > Also meine Aufgabe war es also die gefärbte Fläche als
> > Integral zu schreiben.
> >
> > [mm]\integral_{-4}^{-1}{( 1 / x^2 - 1 ) dx}[/mm]
> >
> > [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm] = [ k [mm]/(n+1)](b^n+1[/mm] - [mm]a^n+1)[/mm]
>
> Woher kommt das k in dieser Formel?
>
> >
> > Wenn ich Versuche das zu berechnen,habe ich immer wie folgt
> > gerechnet :
> >
> > [mm]\integral_{-4}^{-1}{( 1 / x^2 - 1 ) dx}[/mm] = [ 1 / 1 /
> > [mm]x^2+1]([-1]^2+1[/mm] - [mm][-4]^2+1)[/mm]
> >
> > = [ 1 / 1/3 ] (-1 + 64)
> > = 3 * 63 = 189
> >
> > Aber 189 kann das nicht sein. Ich habe mit dieser Rechnung
> > die Verschiebung in der Y-Achse nicht beachtet und habe
> > auch keine Ahnung wie ich das machen soll.
>
> Das ist alles recht schwer zu lesen, bitte benutze doch den
> Formeleditor.
>
> Wenn ich mir das richtig zusammenreime, gilt es
> [mm]\int\limits_{-4}^{-1}{\left(\frac{1}{x^2}-1\right) \ dx}[/mm] zu
> berechnen ...
>
> Das würde zumindest dem Ergebnis deines TR entsprechen
>
> Hier nochmal die Formel: [mm]\int{x^n \ dx}=\frac{1}{n+1}\cdot{}x^{n+1} \ + \ C[/mm]
> für alle [mm]n\in\IR, n\neq -1[/mm]
>
> Schreibe das Integral um:
> [mm]\int\limits_{-4}^{-1}\left(\frac{1}{x^2}-1\right) \ dx}=\int\limits_{-4}^{-1}\left(x^{-2}-1\right) \ dx}[/mm]
>
> Das nun summandenweise integrieren, den ersten Summanden,
> also [mm]x^{-2}[/mm] gem. der Formel:
>
> [mm]=\left[\frac{1}{-2+1}\cdot{}x^{-2+1}-x\right]_{-4}^{-1} \ = \ \left[\frac{1}{-1}\cdot{}x^{-1}-x\right]_{-4}^{-1}[/mm]
>
> [mm]=\left[-\frac{1}{x}-x\right]_{-4}^{-1}[/mm]
>
> Nun setze die Grenzen ein und rechne den Klumpatsch aus.
>
> Achte auf die vielen Minüsse
>
> >
> > Also als Lösung hat mir der Taschenrechner -2,25 gegeben.
> >
> > Danke,
> >
> > Hai
>
>
> LG
>
> schachuzipus
Tut mir Leid aber ein Schritt habe ich doch nicht ganz verstanden,egal wie lange ich mir das anschaue.
> Das nun summandenweise integrieren, den ersten Summanden,
> also [mm]x^{-2}[/mm] gem. der Formel:
>
> [mm]=\left[\frac{1}{-2+1}\cdot{}x^{-2+1}-x\right]_{-4}^{-1} \ = \ \left[\frac{1}{-1}\cdot{}x^{-1}-x\right]_{-4}^{-1}[/mm]
>
> [mm]=\left[-\frac{1}{x}-x\right]_{-4}^{-1}[/mm]
Die Rechnung kann ich ya nachvollziehen, jedoch versteh ich nicht wie man bei:
[mm]=\left[\frac{1}{-2+1}\cdot{}x^{-2+1}-x\right]_{-4}^{-1} \ = \ \left[\frac{1}{-1}\cdot{}x^{-1}-x\right]_{-4}^{-1}[/mm]
auf das -x kommt :(
Könntest du mir das erklären?
Danke,
Ich....
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> > Wenn ich mir das richtig zusammenreime, gilt es
> > [mm]\int\limits_{-4}^{-1}{\left(\frac{1}{x^2}-1\right) \ dx}[/mm] zu
> > berechnen ...
> >
> > Das würde zumindest dem Ergebnis deines TR entsprechen
> >
> > Hier nochmal die Formel: [mm]\int{x^n \ dx}=\frac{1}{n+1}\cdot{}x^{n+1} \ + \ C[/mm]
> > für alle [mm]n\in\IR, n\neq -1[/mm]
> >
> > Schreibe das Integral um:
> > [mm]\int\limits_{-4}^{-1}\left(\frac{1}{x^2}-1\right) \ dx}=\int\limits_{-4}^{-1}\left(x^{-2}-1\right) \ dx}[/mm]
>
> >
> > Das nun summandenweise integrieren, den ersten Summanden,
> > also [mm]x^{-2}[/mm] gem. der Formel:
> >
> > [mm]=\left[\frac{1}{-2+1}\cdot{}x^{-2+1}-x\right]_{-4}^{-1} \ = \ \left[\frac{1}{-1}\cdot{}x^{-1}-x\right]_{-4}^{-1}[/mm]
>
> >
> > [mm]=\left[-\frac{1}{x}-x\right]_{-4}^{-1}[/mm]
> >
> > Nun setze die Grenzen ein und rechne den Klumpatsch aus.
> >
> > Achte auf die vielen Minüsse
> Tut mir Leid aber ein Schritt habe ich doch nicht ganz
> verstanden,egal wie lange ich mir das anschaue.
>
> > Das nun summandenweise integrieren, den ersten Summanden,
> > also [mm]x^{-2}[/mm] gem. der Formel:
> >
> > [mm]=\left[\frac{1}{-2+1}\cdot{}x^{-2+1}-x\right]_{-4}^{-1} \ = \ \left[\frac{1}{-1}\cdot{}x^{-1}-x\right]_{-4}^{-1}[/mm]
>
> >
> > [mm]=\left[-\frac{1}{x}-x\right]_{-4}^{-1}[/mm]
>
>
>
> Die Rechnung kann ich ya nachvollziehen, jedoch versteh ich
> nicht wie man bei:
>
> [mm]=\left[\frac{1}{-2+1}\cdot{}x^{-2+1}-x\right]_{-4}^{-1} \ = \ \left[\frac{1}{-1}\cdot{}x^{-1}-x\right]_{-4}^{-1}[/mm]
>
> auf das -x kommt :(
>
> Könntest du mir das erklären?
Ja.
Ich hatte ja geschrieben, dass du das Integral summandenweise berechnen kannst ...
Das -x kommt vom 2.Summanden -1, der integriert wird.
Ich habe das nur in einem Schritt aufgeschrieben.
Die Stammfunktion des 1. Summanden, also von [mm] $x^{-2}$ [/mm] ist [mm] $-\frac{1}{x}$.
[/mm]
Die Stammfunktion des zweiten Summanden, also von $-1$ ist $-x$
Das zusammen ergibt [mm] $-\frac{1}{x}-x$ [/mm] (in den gegebenen Grenzen)
>
> Danke,
>
> Ich....
LG
schachuzipus
|
|
|
|
