Integralrechnung < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:25 Fr 14.08.2009 | | Autor: | hamma |
hi, ich wollt wissen ob die Partialbrüche soweit stimmen, mit dem zweiten bruch bin ich mir nicht so sicher.
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{(x+1)^2}{x^3+x} dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{(x+1)^2}{x(x^2+1)} dx}
[/mm]
Partialbrüche:
[mm] =\bruch{A}{x}+\bruch{Bx+C}{x^2+1}
[/mm]
|
|
| |
|
Hallo Markus,
> hi, ich wollt wissen ob die Partialbrüche soweit stimmen,
> mit dem zweiten bruch bin ich mir nicht so sicher.
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{(x+1)^2}{x^3+x} dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{(x+1)^2}{x(x^2+1)} dx}[/mm]
>
> Partialbrüche:
>
>
> [mm]=\bruch{A}{x}+\bruch{Bx+C}{x^2+1}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja, der Ansatz ist richtig.
Nun weiter ... 
LG
schachuzipus
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 Fr 14.08.2009 | | Autor: | hamma |
dann folgt,
[mm] (x+1)^2 [/mm] = [mm] A(x^2+1)+(Bx+C)*x
[/mm]
bei x=0 ist A=1
so, jetzt kann ich zwei beliebige x-werte in die Gleichung einsetzen um ein lineares Gleichungssystem zu erhalten.
bei x=1 folgt die Gleichung 4=2A +B +C
bei x=2 folgt die Gleichung 9=5A +4B+2C
und bekomme dann als ergebnis : A=1, [mm] B=\bruch{1}{2}, [/mm] C=1
und erhalte dann das integral,
[mm] =\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{x} dx}+\bruch{1}{2}\integral_{a}^{b}{\bruch{x}{x^2+1} dx}+\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{x^2+1} dx}
[/mm]
= [mm] ln(x)+\bruch{1}{4}ln(x^2+1)+arctan(x) [/mm] +C
....leider habe ich was falsch gemacht weil mein integralrechner ein anderes ergebnis zeigt.
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> dann folgt,
>
> [mm](x+1)^2[/mm] = [mm]A(x^2+1)+(Bx+C)*x[/mm]
>
> bei x=0 ist A=1
>
> so, jetzt kann ich zwei beliebige x-werte in die Gleichung
> einsetzen um ein lineares Gleichungssystem zu erhalten.
>
> bei x=1 folgt die Gleichung 4=2A +B +C
> bei x=2 folgt die Gleichung 9=5A +4B+2C
>
> und bekomme dann als ergebnis : A=1, [mm]B=\bruch{1}{2},[/mm] C=1 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Ich verstehe nix von der Methode, die du da angewendet hast und schlage einen einfachen 08/15 Koeffizientenvergleich vor:
Der Ansatz war: [mm] $\frac{\overbrace{(x+1)^2}^{=x^2+2x+1}}{x(x^2+1)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+1}$
[/mm]
Nun rechterhand gleichnamig machen und nach Potenzen von x sortieren:
[mm] $=\frac{A(x^2+1)+(Bx+C)x}{x(x^2+1)}=\frac{(\red{A+B})x^2+\blue{C}x+\green{A}}{x(x^2+1)}$
[/mm]
Nun im Zähler nen Koeffizientenvergleich mit [mm] $\red{1}x^2+\blue{2}x+\green{1}$
[/mm]
>
> und erhalte dann das integral,
>
> [mm]=\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{x} dx}+\bruch{1}{2}\integral_{a}^{b}{\bruch{x}{x^2+1} dx}+\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{x^2+1} dx}[/mm]
>
> = [mm]ln(x)+\bruch{1}{4}ln(x^2+1)+arctan(x)[/mm] +C
>
> ....leider habe ich was falsch gemacht weil mein
> integralrechner ein anderes ergebnis zeigt.
Ja, du hast 2 Koeffizienten falsch berechnet, daher das Ungemach
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:02 Fr 14.08.2009 | | Autor: | hamma |
ok, danke, ich hatte eine lücke mit koeffizientenvergleich. jetzt habe ich das richtige ergebnis.
|
|
|
|
