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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:07 Fr 14.08.2009 | | Autor: | hamma |
Hallo, ich habe ein integral berechnet und weiß net ob meine rechnung stimmt weil mein integralrechner ein anderes ergebnis zeigt...jetzt würde ich gerne mein fehler wissen oder mein integralrechner zeigt das falsche ergebnis, bin mir net sicher.
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{x^2-2x+3} dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{x^2-2x+3+2-2} dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{(x-1)^2+2} dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{(\bruch{x-1}{\wurzel{2}})^2+1} dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{z^2+1} dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}arctan \bruch{x-1}{\wurzel{2}}+C
[/mm]
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Hallo Markus,
> Hallo, ich habe ein integral berechnet und weiß net ob
> meine rechnung stimmt weil mein integralrechner ein anderes
> ergebnis zeigt...jetzt würde ich gerne mein fehler wissen
> oder mein integralrechner zeigt das falsche ergebnis, bin
> mir net sicher.
>
> [mm] $\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{x^2-2x+3} dx}$ [/mm]
> [mm] $=\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{x^2-2x+3+2-2} dx}$ [/mm]
> [mm] $=\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{(x-1)^2+2} dx}$ [/mm]
> [mm] $=\bruch{1}{2}\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{(\bruch{x-1}{\wurzel{2}})^2+1} dx}$
[/mm]
> [mm] $=\bruch{1}{2} \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{z^2+1} d\red{z}}$
[/mm]
Hier passt es nicht mehr. Wenn du [mm] $z=\frac{x-1}{\sqrt{2}}$ [/mm] substituierst, so ist [mm] $\frac{dz}{dx}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ [/mm] Also [mm] $dx=\sqrt{2}\cdot{}dz$
[/mm]
Damit bekommst du [mm] $\frac{\sqrt{2}}{2}\int{\frac{1}{z^2+1} \ dz}=\frac{\sqrt{2}}{2}\arctan(z) [/mm] \ + \ [mm] C=\frac{\sqrt{2}}{2}\arctan\left(\frac{x-1}{\sqrt{2}}\right) [/mm] \ + \ C$
Wenn du magst, kannst du [mm] $\frac{\sqrt{2}}{2}$ [/mm] noch schreiben als [mm] $\frac{1}{\sqrt{2}}$
[/mm]
> [mm]\bruch{1}{2}arctan \bruch{x-1}{\wurzel{2}}+C[/mm]
LG
schachuzipus
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Ach noch etwas:
Wenn du es wirklich mit Grenzen rechnen sollst, musst du die mitsubstituieren oder komplett ohne Grenzen rechnen und dann am Ende die "alten" Grenzen hernehmen.
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:33 Fr 14.08.2009 | | Autor: | hamma |
aja, ok.merci.
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