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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:24 Di 30.06.2009 | | Autor: | pueppiii |
| Aufgabe | | Ich würde gerne dieses Integral [mm] \integral_{0}^{\infty}e^\bruch{-bh^2x^2}{8ml^2}{dx} [/mm] nachvollziehen, jedoch komme ich nicht auf die Lösung! |
Ich hoffe mir kann jemand helfen. Vielen Dank im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:33 Di 30.06.2009 | | Autor: | abakus |
> Ich würde gerne dieses Integral
> [mm]\integral_{0}^{\infty}e^\bruch{-bh^2x^2}{8ml^2}{dx}[/mm]
> nachvollziehen, jedoch komme ich nicht auf die Lösung!
>
> Ich hoffe mir kann jemand helfen. Vielen Dank im Voraus!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Hallo,
lasse dich nicht von dem Gewusel verschiedener Parameter verunsichern. Es handelt sich nach dem Zusammenfassen aller möglichen Parameter und Faktoren im Exponenten um einen Term der Form
[mm] e^{-kx^2}. [/mm] Das erinnert doch ziemlich an die Gaußsche Glockenkurve (deren Stammfunktion du sicher kennst oder bei Wikipedia findest).
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:34 Mi 01.07.2009 | | Autor: | pueppiii |
Ok dann kriege als Lösung von dem Integral ein [mm] \wurzel{\bruch{\pi}{k}}! [/mm]
Stimmt das?
Dennoch weiß ich nicht, wie ich das ausführlich nachrechnen kann?
Und ich komme zum Schluss auf die Lösung [mm] \bruch{l}{h}\wurzel{\bruch{8{\pi}m}{b}}, [/mm] die eigentlich fast stimmt, ich brauche nur statt der 8 eine 2.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:47 Mi 01.07.2009 | | Autor: | abakus |
> Ok dann kriege als Lösung von dem Integral ein
> [mm]\wurzel{\bruch{\pi}{k}}![/mm]
>
> Stimmt das?
> Dennoch weiß ich nicht, wie ich das ausführlich
> nachrechnen kann?
>
>
>
> Und ich komme zum Schluss auf die Lösung
> [mm]\bruch{l}{h}\wurzel{\bruch{8{\pi}m}{b}},[/mm] die eigentlich
> fast stimmt, ich brauche nur statt der 8 eine 2.
Hallo,
könnte es sein, dass du in Bezugnahme auf die Gaußsche Glockenkurve das Intervall von [mm] -\infty [/mm] bis [mm] \infty [/mm] gewählt hast?
In deiner Aufgabe ist nur die Hälfte davon zu berechnen (und die Hälfte von [mm] \wurzel8=2\wurzel2 [/mm] ist [mm] \wurzel2).
[/mm]
Gruß Abakus
>
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> Ok dann kriege als Lösung von dem Integral ein
> [mm]\wurzel{\bruch{\pi}{k}}![/mm]
>
> Stimmt das?
> Dennoch weiß ich nicht, wie ich das ausführlich
> nachrechnen kann?
Um sich das Auftreten von [mm] \pi [/mm] in solchen
"Gauß-Integralen" zu erklären, geht man
so vor:
Man betrachtet das Doppelintegral
$\ I\ =\ [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}\integral_{-\infty}^{\infty}e^{-C*(x^2+y^2)}\,dx\,dy$
[/mm]
Dieses kann man einerseits in ein Produkt
zerlegen:
$\ I\ =\ [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}e^{-C*x^2}\,dx\ *\integral_{-\infty}^{\infty}e^{-C*y^2}\,dy$
[/mm]
$\ =\ [mm] {\left(\red{\integral_{-\infty}^{\infty}}e^{-C*x^2}\,dx\right)}^2\ [/mm] =\ [mm] \blue{4}* {\left(\red{\integral_{0}^{\infty}}e^{-C*x^2}\,dx\right)}^2$
[/mm]
Andererseits kann man I durch Polarkoordinaten
so schreiben:
$\ I\ =\ [mm] \integral_{0}^{2\,\pi}\integral_{0}^{\infty}e^{-C*r^2}*r\,dr\,d\varphi$
[/mm]
Dieses Integral lässt sich dank des zusätzlichen
Faktors r im Integranden, der aus der Trans-
formation
[mm] $dx\,dy\ [/mm] =\ [mm] r\,dr\,d\varphi$
[/mm]
der Differentiale stammt, leicht durch Substitution
integrieren. Gegenüberstellung der auf verschie-
denen Wegen erlangten Ergebnisse ergibt dann
die Formel für den Wert des bestimmten Integrals.
> Und ich komme zum Schluss auf die Lösung
> [mm]\bruch{l}{h}\wurzel{\bruch{8{\pi}m}{b}},[/mm] die eigentlich
> fast stimmt, ich brauche nur statt der 8 eine 2.
Deine rechnerischen Resultate habe ich jetzt
nicht nachgeprüft, doch möglicherweise steckt
des Rätsels Lösung im oben blau markierten
Faktor 4 ...
Nachtrag:
Ich habe jetzt doch noch nachgerechnet und komme
genau auf das erwartete Ergebnis, mit dem richtigen
Faktor.
LG Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:54 Do 02.07.2009 | | Autor: | pueppiii |
Ok erstmal danke für deine Hilfe!
Dann spalte ich das Integral in [mm] \integral_{0}^{2\pi}{d\phi}\integral_{0}^{\infty}{e^{-cr^2}r dr}
[/mm]
Bei dem ersten Integral kommt [mm] \pi/2 [/mm] raus, oder?
Und dann habe ich zwar im zweiten Integral ein r zu integrieren, aber auch wieder diese e-Funktion mit [mm] -r^2 [/mm] was mich ja eigentlich nich weiter bringt oder müsste das einen andere Variable sein!!
Sorry blick grad irgendwie nich ganz durch!!
Vielen Dank für eure Hilfe!
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> Ok erstmal danke für deine Hilfe!
> Dann spalte ich das Integral in
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{d\phi}\integral_{0}^{\infty}{e^{-cr^2}r dr}[/mm]
>
> Bei dem ersten Integral kommt [mm]\pi/2[/mm] raus, oder? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Nein. Natürlich ergibt das [mm] 2*\pi [/mm] !
> Und dann habe ich zwar im zweiten Integral ein r zu
> integrieren, aber auch wieder diese e-Funktion mit [mm]-r^2[/mm] was
> mich ja eigentlich nich weiter bringt oder müsste das
> einen andere Variable sein!!
Das bringt einen eben wirklich weiter,
denn die Substitution [mm] u:=\,-\,c*r^2 [/mm] führt
auf $\ [mm] du=\,-\,2*c*r*dr$ [/mm] bzw. $\ [mm] dr=\,-\,\bruch{1}{2*c*r}*du$ [/mm] ,
und das r kürzt sich dann heraus !
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:28 Do 02.07.2009 | | Autor: | pueppiii |
Also komme ich dann auf [mm] [e^u\*\bruch{1}{2c}] [/mm] in den Grenzen 0 bis [mm] \infty
[/mm]
= [mm] (0-\bruch{1}{2c})= -\bruch{1}{2c}. [/mm] Was sagt mir das?
Mein c ist ja quasi [mm] \bruch{-bh^2}{8ml^2}
[/mm]
Tut mir leid, stell mich wohl bissel an der erste Mensch...schieben wir es mal auf das Wetter...:-(
Und wie komme ich dann auf meine Lösung? Ich brauche die Wurzel, die wohl von der der Teilbetrachtung kommt, oder?
Das [mm] \bruch{l}{h} [/mm] ziehe ich raus und ...??
Endlösung:
[mm] \bruch{l}{h}\wurzel{\bruch{2(\pi)m}{b}}
[/mm]
Danke Danke!!!
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> Also komme ich dann auf [mm][e^u\*\bruch{1}{2c}][/mm] in den Grenzen
> 0 bis [mm]\infty[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Vorsicht: so wie wir u definiert haben, muss
u von o bis [mm] -\infty [/mm] gehen !
> = [mm](0-\bruch{1}{2c})= -\bruch{1}{2c}.[/mm] Was sagt mir das?
Richtig gibt es dann [mm] +\bruch{1}{2c}
[/mm]
Das ist der Wert des inneren Integrals.
Die äussere Integration bedeutet dann
noch eine Multiplikation mit [mm] 2*\pi,
[/mm]
also haben wir dann für das Doppelintegral
den Wert
[mm] 2*\pi*\bruch{1}{2c}=\bruch{\pi}{c}
[/mm]
> Mein c ist ja quasi [mm]\bruch{-bh^2}{8ml^2}[/mm]
Da wir $ [mm] u:=\,-\,c\cdot{}r^2 [/mm] $ definiert haben,
gehört das Minuszeichen nicht ins c hinein !
> Und wie komme ich dann auf meine Lösung? Ich brauche die
> Wurzel, die wohl von der der Teilbetrachtung kommt, oder?
Das Doppelintegral entspricht dem Quadrat des
doppelten des gesuchten Integrals. Das klingt
ein wenig verzwickt, ist aber genau so.
Um vom Wert
[mm] \bruch{\pi}{c}=\bruch{8*\pi*m*l^2}{b*h^2}
[/mm]
des Doppelintegrals zum gesuchten Integral
zu kommen, müssen wir deshalb zuerst die
Quadratwurzel ziehen:
[mm] $\wurzel{\bruch{8*\pi*m*l^2}{b*h^2}}=\bruch{l}{h}*\wurzel{\bruch{8*\pi*m}{b}}$
[/mm]
und dieses Zwischenergebnis halbieren
(weil wir ja nicht das Integral von [mm] -\infty [/mm] bis [mm] +\infty
[/mm]
wollen, sondern nur das von 0 bis [mm] +\infty [/mm] ; und
wegen der Symmetrie der Gausskurve ist
dies exakt die Hälfte !).
Halbieren der Wurzel bedeutet, dass man
unter der Wurzel durch 4 teilen muss.
Also kommen wir, halleluja, zum ersehnten
Term:
[mm] $\bruch{l}{h}*\wurzel{\bruch{2*\pi*m}{b}}$
[/mm]
LG Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:04 Do 02.07.2009 | | Autor: | pueppiii |
Ok super, vielen Dank für deine ausführliche Erklärung!
Warum entspricht das Doppelintegral dem Quadrat des doppelten gesuchten Integrals? Die Aussage versteh ich nich so richtig!!!
Aber das ist ja nich entscheidend um auf die Lösung zu kommen!
Einen schönen Abend!
Lg
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> Ok super, vielen Dank für deine ausführliche Erklärung!
>
> Warum entspricht das Doppelintegral dem Quadrat des
> doppelten gesuchten Integrals? Die Aussage versteh ich nich
> so richtig!!!
> Aber das ist ja nicht entscheidend um auf die Lösung zu
> kommen!
Um sie zu begreifen aber sehr wohl !
Vielleicht liest du da nochmals genau nach:
https://matheraum.de/read?t=569007
Das Doppelintegral konnte man ja einerseits
in kartesischen und andererseits in Polarkoor-
dinaten aufschreiben, wobei sich das kartesi-
sche in ein Produkt aus zwei gleichen Faktoren
auflösen liess, die man aber leider nicht mit
Hilfe einer Stammfunktion integrieren konnte.
Dasjenige in Polarkoordinaten lässt sich aber
durch Substitution integrieren und damit aus-
rechnen. Da der Wert des Integrals unabhängig
davon ist, ob man ihn mit den einen oder den
anderen Koordinaten berechnet, kann man
von dem mittels Polarkoordinaten erreichten
Ergebnis aus dann zurückschliessen auf den
Wert des Integrals, dessen Wert wir eigentlich
haben wollten. So gehen mathematische
Gedankengänge eben manchmal um mehr
als eine Ecke herum - aber, wenn es gute
und gültige Mathematik sein soll, immer
mit einem klaren Konzept.
LG Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:00 Fr 03.07.2009 | | Autor: | pueppiii |
Ah ok alles klar!!
Vielen Dank für deine Hilfe!
Einen schönen sonnigen Tag wünsch ich!!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:39 Mi 01.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> [mm]e^{-kx^2}.[/mm] Das erinnert doch ziemlich an die Gaußsche
> Glockenkurve (deren Stammfunktion du sicher kennst
Da hab ich gr0ße Zweifel
> oder bei
> Wikipedia findest).
Da hab ich ebenfalls Zweifel
FRED
> Gruß Abakus
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