Integralrechnung < Integr.+Differenz. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:27 Mo 19.05.2008 | | Autor: | guppyc |
| Aufgabe | Eine Kugel wird von einem Kreiszylinder durchbohrt. Wieviel gemeinsames Volumen entsteht?
-Der Kugelradius ist R
-Der Zylinderradius ist R/2
-Die Zylinderachse liegt bei x=R/2 durch x und parallel zu z |
Mein Problem ist, dass die Zylinderachse nicht bei x=0 liegt, sondern bei x=R/2. Rechne ich mit einem Dreifachintegral in kartesischen Koordinaten, komme ich auf Integrale, die ich auch mit Integraltabellen nicht lösen kann. Und wenn ich mit Zylinderkoordinaten rechne, weiß ich nicht,wie ich die verschobene Zylinderachse behandeln soll. Das Ergebnis soll [mm] \bruch{2}{3}(\pi R³-\bruch{4}{3}R³) [/mm] sein.
Vielen Dank für die Hilfe!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:49 Mo 19.05.2008 | | Autor: | max3000 |
Dieses Problem ist auch unter dem Namen "Vivianisches Fenster" bekannt. Einfach mal bei google suchen.
Und ich würde hier spontan den Körper so verschieben, dass der Koordinatenursprung in der Drehachse des Zylinders liegt und dann mit Zylinderkoordinaten arbeiten. [mm] \phi [/mm] - und [mm] \psi- [/mm] Koordinate (oder wie ihr die auch genannt habt) sind ja bekannt, nur für die z- Koordinate musst du einen Grenzbereich finden. Das findet man sicherlich recht gut durch ein Paar trigonometrische Beziehungen raus. Wenn du das dann hast eben wie gesagt drei mal mit der Transformationsformel über alle Grenzen Integrieren.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 Mo 19.05.2008 | | Autor: | guppyc |
Danke für den Hinweis.
Das mit der Achsenverschiebung hab ich probiert und bin mit den Zylinderkoordinaten auf die Formel [mm] V=2\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{\bruch{R}{2}}\integral_{0}^{\wurzel[]{(R²-(r-\bruch{1}{2}R)²}} [/mm] dz r dr d [mm] \phi
[/mm]
gekommen. Ich hab gedacht, dass [mm] (r-\bruch{1}{2}R)² [/mm] das ganze um [mm] \bruch{R}{2} [/mm] verschiebt. Ist das nicht so?
Gruß Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:01 Di 20.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine Verschiebung ist falsch! Die Kugel wird ja nur in x-Richtung verschoben, ihre Gleichung dann :
[mm] (x-R/2)^2+y^2+z^2=R^2.
[/mm]
also leider nicht so einfach.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:07 Di 20.05.2008 | | Autor: | guppyc |
Danke. Die Verschiebung in kartesischen Koordinaten verstehe ich, aber ist es irgendwie möglich das auch in Zylinderkoordinaten zu verschieben?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:25 Di 20.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
natürlich [mm] x=R/2+rcos\phi; y=rsin\phi [/mm] ,z
[mm] z^2=R^2-(R/2+rcos\phi)^2-r^2sin^2\phi [/mm] noch vereinfachen. damit wird die r und [mm] \phi [/mm] integration halt hässlich.
probier aus, welche man besser zuerst durchführt.
Gruss leduart
|
|
|
|
