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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:57 Do 16.08.2007 | | Autor: | Lars_B. |
| Aufgabe | Lösen Sie das Integral I = [mm] \integral{ (x^2 * e^x) dx}
[/mm]
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Hallo,
eigentlich sieht das recht einfach aus.
1. Wenn ich hier für die Partielle Integration [mm] v'=e^x [/mm] einsetzte kommt logischerweise null raus, wie immer wenn man irgendwas mal [mm] e^x [/mm] hat und so integriert.
2. Wenn ich [mm] v'=x^2 [/mm] einsetze bekomme ich am Ende F(x) = [mm] e^x \bruch{4x^3-x^4}{12} [/mm] +c raus.
Es soll aber [mm] e^x (x^2-2x+2) [/mm] +c rauskommen.
Muss hier nicht nur einfach die partielle Integration angewendet werden ?
Bitte eine Anregung keine Lösung.
Danke
Grüße
Lars
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Hallo Lars!
Wie meinst Du das mit dem "Null ehrauskommen bei $v' \ = \ [mm] e^x$ [/mm] ?
Das ist nämlich schon der richtige Ansatz für die partielle Integration. Allerdings musst Du hier die partielle Integration gleich 2-mal anwenden, um zum Ziel zu kommen!
Oder aber man weiß, dass die Stammfunktion die Form $F(x) \ = \ [mm] \left(a*x^2+b*x+c\right)*e^x [/mm] +d$ hat, und leitet diese Funktion nun ab.
Durch Koeffizientenvergleich kommt man dann auch auf die Lösung.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:13 Do 16.08.2007 | | Autor: | Lars_B. |
Hallo Roadrunner,
> Wie meinst Du das mit dem "Null ehrauskommen bei [mm]v' \ = \ e^x[/mm]
> ?
ähm... kommt dann nicht das raus:
[mm] F(x) = x^2 * e^x - \integral{2x * e^x dx} [/mm]
Und das dann direkt überführt:
[mm] F(x) = x^2 * e^x - x^2 * e^x [/mm]
Oder ist genau das falsch und man muss hier solange weitermachen bis man eine Konstante im Integral erhält und diese rausziehen kann ?
Also:
[mm] F(x) = x^2 * e^x - 2x * e^x - 2\integral{e^x dx} [/mm]
Was dann auch zum gesuchten Ergebnis führt....
Ist das allgemein so, wenn man ein Integral hat in dem [mm] e^x [/mm] vorkommt ?
Danke
Grüße
Lars
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Hallo Lars!
> ähm... kommt dann nicht das raus:
> [mm]F(x) = x^2 * e^x - \integral{2x * e^x dx} [/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau!
> Oder ist genau das falsch und man muss hier solange
> weitermachen bis man eine Konstante im Integral erhält und
> diese rausziehen kann ?
> Also:
>
> [mm]F(x) = x^2 * e^x - 2x * e^x - 2\integral{e^x dx} [/mm]
Das gefällt mir viiieel besser. Allerdings gehört vor das letzte Integral ein [mm] $\red{+}$ [/mm] !
> Ist das allgemein so, wenn man ein Integral hat in dem [mm]e^x[/mm]
> vorkommt ?
Nicht immer ... aber immer öfter!  Ja, das geht bei Produkten mit der e-Funktion meistens so.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:27 Do 16.08.2007 | | Autor: | Lars_B. |
Hallo Roadrunner,
> Das gefällt mir viiieel besser. Alleridings gehört vor das
> letzte Integral ein [mm]\red{+}[/mm] !
warum ? :)
Danke
Grüße
Lars
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Hallo Lars!
Weil Du für den zweiten Teil erst Klammern setzten musst, wo Du das zweite mal partiell integrierst:
$ F(x) \ = \ [mm] x^2 \cdot{} e^x [/mm] - [mm] \left( \ 2x \cdot{} e^x - 2*\integral{e^x \ dx} \ \right) [/mm] \ = \ [mm] x^2 \cdot{} e^x [/mm] - 2x [mm] \cdot{} e^x [/mm] \ [mm] \red{+} [/mm] \ [mm] 2*\integral{e^x \ dx}$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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