Integralrechnung < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Die Fläche zwischen zwei Kurven bzw. zwei Gleichungen ist zu berechnen:
g(x) = [mm] x^2-2 [/mm] ; f(x) = [mm] -x^2+2x+2 [/mm] |
Hallo allerseits,
ich habe die oben genannte Frage in keinem weiteren Internetforum gestellt.
Wie schon in der Aufgabenstellung erwähnt soll die Fläche zwischen den beiden Graphen integriert und berechnet werden.
Ich bin wie folgt vorgegangen:
Zunächst einmal die Differenzfunktion bilden.
g(x) = f(x)
[mm] x^2-2=-x^2+2x+2
[/mm]
0 = [mm] 2x^2-2x-4
[/mm]
Nun die Schnittpunkte der beiden Graphen ermitteln um die Integrationsgrenzen festlegen zu können.
x01 = 2
x02 = -1
Demnach müsste meine Gleichung doch wie folgt lauten:
A = [mm] \integral_{-1}^{0}{(2x^2-2x-4)dx} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{2}{(2x^2-2x-4)dx}
[/mm]
Ist das soweit richtig ???
Dann Aufleiten der Funktion:
A = [mm] [\bruch{2}{3}x^3-\bruch{1}{2}x^2-4x] [/mm] in den Grenzen -1/0 +
[mm] [\bruch{2}{3}x^3-\bruch{1}{2}x^2-4x] [/mm] in den Grenzen von 0/2
Damit komme ich auf folgende Gleichungen:
A = [-0,666-0,5+4]-[0] + [5,333-2-8]-[0]
A = 2,834 + (-4,667)
A = 7,501
Soweit meine Lösung.
Aber eigentlich sollte neun rauskommen.
Kann mir jemand meinen Fehler zweigen???
Gruß,
Stephan
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:47 Di 29.05.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
> Die Fläche zwischen zwei Kurven bzw. zwei Gleichungen ist
> zu berechnen:
> g(x) = [mm]x^2-2[/mm] ; f(x) = [mm]-x^2+2x+2[/mm]
> Hallo allerseits,
>
> ich habe die oben genannte Frage in keinem weiteren
> Internetforum gestellt.
>
> Wie schon in der Aufgabenstellung erwähnt soll die Fläche
> zwischen den beiden Graphen integriert und berechnet
> werden.
>
> Ich bin wie folgt vorgegangen:
>
> Zunächst einmal die Differenzfunktion bilden.
>
> g(x) = f(x)
> [mm]x^2-2=-x^2+2x+2[/mm]
> 0 = [mm]2x^2-2x-4[/mm]
Is okay
>
> Nun die Schnittpunkte der beiden Graphen ermitteln um die
> Integrationsgrenzen festlegen zu können.
>
> x01 = 2
> x02 = -1
Stimmt.
>
> Demnach müsste meine Gleichung doch wie folgt lauten:
>
> A = [mm]\integral_{-1}^{0}{(2x^2-2x-4)dx}[/mm] +
> [mm]\integral_{0}^{2}{(2x^2-2x-4)dx}[/mm]
>
> Ist das soweit richtig ???
Berechne einfach das Integral von -1 bis 2 von der Differenzfunktion.
Dann den Betrag davon nehmen und du bist zu 100% auf der richtigen Seite.
Mit Hilfe der Differenzfunktion umgehst du doch schon die Überlegung: Wo ist die Fläche positiv und wo negativ etc.
Sicher kannst du das Integral aufspalten, ist aber in deiner Überlegung überflüssig.
Guck dir mal den Graphen der Differenz-Funktion an, dann weist du warum:
[Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Dann Aufleiten der Funktion:
>
> A = [mm][\bruch{2}{3}x^3-\bruch{1}{2}x^2-4x][/mm] in den Grenzen
> -1/0 +
> [mm][\bruch{2}{3}x^3-\bruch{1}{2}x^2-4x][/mm] in den Grenzen von
> 0/2
Unnötig (s.h. oben)
Hier hast du auch einen Rechenfehler:
2/3 [mm] x^3 [/mm] ergibt abgeleitet [mm] 2x^2, [/mm] passt.
1/2 [mm] x^2 [/mm] ergibt abgeleitet x, es muss aber 2x heißen => Du musst [mm] x^2 [/mm] wählen, denn davon ist die Ableitung 2x!
4x passt, denn da bleibt die 4 hinterher über.
>
> Damit komme ich auf folgende Gleichungen:
>
> A = [-0,666-0,5+4]-[0] + [5,333-2-8]-[0]
> A = 2,834 + (-4,667)
> A = 7,501
Die dann nicht mehr stimmen, da deine Stammfunktion (nicht Aufleitung!) falsch ist.
>
> Soweit meine Lösung.
> Aber eigentlich sollte neun rauskommen.
>
> Kann mir jemand meinen Fehler zweigen???
Hoffe, die sind klar geworden.
Du kannst das aber auch mal mit dienem aufgespalteten Integral rechnen, und sehen, dass dort dann auch das selbe rauskommt, wenn du beides mal ein + vors Integral setzt.
Diese Aufspaltung ist aber dennoch unnötig.
>
>
> Gruß,
> Stephan
LG
Kroni
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
|
|
|
|
