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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:20 Mo 05.01.2004 | | Autor: | Christa |
Hallo alle da draußen!!!
Also ich stehe mal wieder kurz vor ner Mathe-Klausur (Montag den...ähmm..12.01) und bin kräftig am lernen. Ich hab hier eine Aufgabe und weiß nicht wie ich die lösen kann oder soll. Könntet ihr mir einen Tipp geben?
Also die Aufgabe ist folgende:
Begründe allgemein:
(1) Hat das Polynom f(x) nur gerade Exponente, so gilt
[mm] \int_{-k}^{+k}{f(x) dx} [/mm] = 2*[mm] \int_{0}^{+k}{f(x) dx} [/mm]
(2) Hat das Polynom f(x) nur ungerade Exponenten, so gilt
[mm] \int_{-k}^{+k}{f(x) dx} [/mm] = 0
So das ist die Aufgabe. Wäre nett wenn mir jemand hilft...
Gruß
Christa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:41 Mo 05.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Christa,
> Also ich stehe mal wieder kurz vor ner Mathe-Klausur #
> (Montag den...ähmm..12.01) und bin kräftig am lernen. Ich #
Sehr vorbildlich 
> Begründe allgemein:
> (1) Hat das Polynom f(x) nur gerade Exponente, so gilt
> [mm] \int_{-k}^{+k}{f(x) dx}[/mm] = 2*[mm] \int_{0}^{+k}{f(x) dx} [/mm]
Ist dir denn schon mal anschaulich klar, warum diese Gleichungen gelten?
Kurz gesagt liegt es an der Symmetrie der Funktion und der Symmetrie des Integrationsbereichs [mm] \lbrack -k; k \rbrack [/mm], denn: f(x) nur gerade Exponenten => f ist achsensymmetrisch zur y-Achse => links und rechts der y-Achse liegt über dem Integrationsinterval derselbe Flächeninhalt ober- bzw. unterhalb der x-Achse => die Flächenbilanz rechts und links der y-Achse ist gleich.
Nun zum mathematischen Beweis (der so lang geworden ist, weil ich auch sämtliche Zwischenschritte aufgeschrieben habe).
Zunächst einmal zeige ich die Behauptung für folgende, sehr viel einfachere Funktion:
[mm] g(x) = a*x^n [/mm], wobei n gerade ist, [mm] a\in\IR [/mm].
(Die Funktion f besteht dann -- sie ist ja ein Polynom -- aus der Summe solcher Funktionen.)
Also: [mm] \int\limits_{-k}^{+k} g(x)dx [/mm]
[mm] = \int\limits_{-k}^{+k} a*x^n dx [/mm]
[mm] = G(+k)-G(-k) [/mm] mit [mm] G(x) = a*\frac{x^{n+1}}{n+1} + C [/mm] (Stammfunktion zu g)
[mm] = a*\frac{k^{n+1}}{n+1} - a*\frac{(-k)^{n+1}}{n+1} [/mm]
Da nun n gerade ist, ist (n+1) ungerade und [mm] (-k)^{n+1} = - k^{n+1} [/mm]:
[mm] = a*\frac{k^{n+1}}{n+1} - a*\frac{-k^{n+1}}{n+1} [/mm]
[mm] = a*\frac{k^{n+1}}{n+1} + a*\frac{k^{n+1}}{n+1} [/mm]
[mm] = 2*a*\frac{k^{n+1}}{n+1} [/mm]
[mm] = 2*(G(k) - G(0)) [/mm], denn [mm] G(0) = 0 [/mm]
[mm] = 2*\int\limits_{0}^{+k} a*x^n dx [/mm] [mm] \Box [/mm]
Jetzt ist eigentlich schon abzusehen, warum das ganze auch für f gilt, ich begründe es aber noch mal formal:
[mm] f [/mm] hat die allgemeine Form [mm] f(x) = a_n*x^n + a_{n-2}*x^{n-2}+a_{n-4}*x^{n-4}+\ldots+a_2*x^2 + a_0 [/mm]
(dies ist ein Polynom mit nur geraden Exponenten und den Koeffizienten [mm] a_n, a_{n-2},\ldots,a_2,a_0\in\IR[/mm])
Es ist nun
[mm] \int\limits_{-k}^{+k}{f(x) dx}[/mm]
[mm] = \int\limits_{-k}^{+k}{a_n*x^n + a_{n-2}*x^{n-2}+a_{n-4}*x^{n-4}+\ldots+a_2*x^2 + a_0 dx}[/mm]
(wegen der Additivität des Integrals:)
[mm] = \int\limits_{-k}^{+k}a_n*x^n dx
+ \int\limits_{-k}^{+k}a_{n-2}*x^{n-2} dx
+\int\limits_{-k}^{+k}a_{n-4}*x^{n-4} dx
+\ldots
+\int\limits_{-k}^{+k}a_2*x^2 dx
+ \int\limits_{-k}^{+k}a_0 dx [/mm]
Die einzelnen Integrale haben nun einen Integranden, der von derselben Form wie [mm] g [/mm] ist (s.o.); also können wir schreiben:
[mm] = 2*\int\limits_{0}^{+k}a_n*x^n dx
+ 2*\int\limits_{0}^{+k}a_{n-2}*x^{n-2} dx
+ 2*\int\limits_{0}^{+k}a_{n-4}*x^{n-4} dx
+\ldots
+ 2*\int\limits_{0}^{+k}a_2*x^2 dx
+ 2*\int\limits_{0}^{+k}a_0 dx [/mm]
[mm] = 2*\left( \int\limits_{0}^{+k}a_n*x^n dx
+ \int\limits_{0}^{+k}a_{n-2}*x^{n-2} dx
+ \int\limits_{0}^{+k}a_{n-4}*x^{n-4} dx
+\ldots
+ \int\limits_{0}^{+k}a_2*x^2 dx
+ \int\limits_{0}^{+k}a_0 dx \right) [/mm]
(wieder Additivität des Integrals ausnutzen:)
[mm] = 2*\int\limits_{0}^{+k}{a_n*x^n + a_{n-2}*x^{n-2}+a_{n-4}*x^{n-4}+\ldots+a_2*x^2 + a_0 dx}[/mm]
[mm] = 2*\int\limits_{0}^{+k}{f(x) dx}[/mm] [mm] \Box [/mm]
> (2) #
> Hat das Polynom f(x) nur ungerade Exponenten, so gilt
> [mm] \int_{-k}^{+k}{f(x) dx}[/mm] = 0
Tja, das folgt ganz ähnlich; ich empfehle es dir als Übung, die du uns zur Kontrolle ja schreiben kannst.
Falls an der einen oder anderen Stelle etwas unklar geblieben sein sollte, frage bitte nach 
Viel Erfolg,
Marc.
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