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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:50 Di 24.10.2006 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe | Sei p = p(h) der Luftdruck in der Höhe über dem Meeresspiegel. Ändert sich h um dh, so gilt
$dp = -apdh$
Dabei ist a eine positive Konstante, also gilt auch:
[mm] $\br{dh}{dh} [/mm] = [mm] -\br{1}{a}*\br{1}{p}$
[/mm]
Berechnen sie h = h(p), wobei für h=0 : p [mm] =p_o [/mm] sei. Bestimmen Sie aus h(p) die Funktion p(h). Berechnen sie den Luftdruck in den Bergen in Höhe von 600m unter Verwendung von [mm] p_0 [/mm] = 1013mbar (unter Normalbedingungen). Für eine Höhe h=5,54km ergibt sich ein Druck [mm] \br{p_0}{2}.
[/mm]
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Guten Abend zusammen.
Die Aufgabe finde ich sehr schwierig, ich weiß kaum, was zu tun ist.
Ändert sich h um dh, so gilt
$dp = -apdh$
Ich würde erst einmal sagen, dass dies unsere Funktion h ist.
Und dann würde ich für p [mm] p_0 [/mm] einsetzen und gleich 0 setzen, also so:
$0 = -ap_0dh$
Ich glaube, da bin ich schon auf dem falschen Weg.
Wie gehe ich die Sache also richtig an?
Danke schon mal!
Grüße
Johann
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:22 Di 24.10.2006 | | Autor: | Infinit |
Hallo Johann,
mit Deiner DGL, die auf der linken Seite im Nenner einen Tippfehler enthält, kommst Du gut weiter. Da sind wir wieder bei den bestimmten Integralen. Die Ausgangsgleichung ist:
$$ [mm] \bruch{dh}{dp} [/mm] = - [mm] \bruch{1}{ap}\, [/mm] . $$ Mit der Trennung der Variablen kannst Du nun die DGL so umschrieben, dass auf jeder Seite der Gleichung nur noch eine Größe vorkommt, über die man dann integrieren kann. Also
$$ dh = - [mm] \bruch{1}{ap} \cdot [/mm] dp $$ oder, wenn ich nun das Integral bilde über beide Seiten, mit Hilfe der Randbedingungen
$$ [mm] \int_0^h [/mm] dh = [mm] \bruch{-1}{a} \int_{p_0}^p \bruch{dp}{p} [/mm] $$
Das ergibt wohl
$$ h = [mm] \bruch{-1}{a} \cdot (\rm{ln} [/mm] (p) - [mm] \rm{ln} (p_0)) [/mm] $$ oder auch
$$ h = [mm] \bruch{-1}{a} \cdot \rm{ln} (\bruch{p}{p_0})\, [/mm] .$$
Mit der Angabe über die Höhe des Druckes in gut 5 km Höhe lässt sich dann noch die Konstante a bestimmen und fertig ist die Formel.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:51 Di 24.10.2006 | | Autor: | Phoney |
Moin Moin.
Erst einmal muss ich mich ganz herzlich bei dir bedanken, Infinit, dass du hier alle meine Fragen so fleißig beantwortest. Ein riesengroßes Dankeschön an dich.
> Das ergibt wohl
> [mm]h = \bruch{-1}{a} \cdot (\rm{ln} (p) - \rm{ln} (p_0))[/mm] oder
> auch
> [mm]h = \bruch{-1}{a} \cdot \rm{ln} (\bruch{p}{p_0})\, .[/mm]
> Mit der Angabe über die Höhe des Druckes in gut 5 km Höhe
> lässt sich dann noch die Konstante a bestimmen und fertig
> ist die Formel.
Bei der Höhe 5,54km = 5540 m ergibt sich ein Druck von [mm] p_o/2. P_o [/mm] war 1013mbar.
Also, um das a zu errechnen, mache ich folgendes:
$5540 = [mm] \br{-1}{a}ln(\br{p}{1013/2})$
[/mm]
Das ergibt
$a=- [mm] \br{ln(\br{p}{506,5})}{5540}$
[/mm]
Und das setze ich jetzt in die Funktion ein
$h = [mm] \bruch{-1}{- \br{ln(\br{p}{506,5})}{5540}} \cdot \rm{ln} (\bruch{p}{1013}) [/mm] $
Nun vereinfache ich etwas
$h = [mm] \bruch{5540}{{ln(\br{p}{506,5})}} \cdot \rm{ln} (\bruch{p}{1013}) [/mm] $
Und nun setze ich das mit 600m gleich
$600 = [mm] \bruch{5540}{{ln(\br{p}{506,5})}} \cdot \rm{ln} (\bruch{p}{1013}) [/mm] $
und löse das nach p auf?
Vielen Dank!
Schöne Grüße
Johann
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:04 Di 24.10.2006 | | Autor: | Infinit |
Moin, moin,
beim Berechnen von a ist was schief gelaufen, denn da bleibt von den "P-Null halben" (legere Schreibweise) dividiert durch P-Null nur noch der Faktor 1/2 übrig:
$$
5540 = [mm] \bruch{-1}{a} \ln (0,5)\, [/mm] . $$
Einen Schönheitspreis gewinnt die Konstante a sicherlich nicht, aber damit ist alles festgelegt und Du kannst Die Formel nach p auflösen.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:28 Di 24.10.2006 | | Autor: | Phoney |
Aaaah, 1000 Dank.
Endlich verspüre ich ein Erfolgserlebnis. Das habe ich jetzt verstanden. Die Aufgabe kann ich nun dank den super Erklärungen lösen.
Danke, danke danke
Phoney
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