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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:36 Mo 03.07.2006 | | Autor: | Lisalou |
| Aufgabe | Die Fläche zwischen dem Graphen von f und g im Intervall [a,b] berechnet man als [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}(f(x)-g(x)) [/mm] dx
Man zeige, dass dies für Polygones den elementargeometrischen Flächeninhalt liefert |
Wie zeigt man das denn? Kann das nicht beweisen, könnte das evt bildlich als Grafik mit zwei normalen Funktionen veranschaulichen, aber nicht als Vieleck...
Könnt ihr mir mal einen Ansatz geben, am Besten heute noch?
Gruß Lisalou
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:18 Mo 03.07.2006 | | Autor: | Walde |
hi Anna,
kontrolliere nochmal bitte, ob im Integral wirklich zweimal dx steht. Das scheint mir nicht richtig. Könnte es vielleicht einfach [mm] \integral_{a}^{b}{f(x)-g(x) dx} [/mm] heissen?
Polygone sind einfach Vielecke, oder? Auf jeden Fall würde ich sagen, müsstest du versuchen das Polygon so aufzuteilen (in oben und unten), dass du den oberen und unteren Rand durch abschnittsweise definierte Funktionen (Geraden) darstellen kannst. Dann müsstest du den Flächeninhalt mit der Formel einfach berechnen können.
L G walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:55 Mo 03.07.2006 | | Autor: | Lisalou |
Hmm *g* nein natürlich nicht, irgendwie kann ich mit diesen Zeichen hier unten nicht richtig umgehen...
also die Aufgabe heißt so :
Integral vonb nach a (f(x)-(g(x)) dx
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:45 Mo 03.07.2006 | | Autor: | Walde |
Hi Anna,
ja, dacht ich mir schon. Das Problem ist, ich weiss nicht genau, was ihr mit Polygon meint. Wenn es ein regelmässiges Polygon ist, gibt es dafür eine allgemeine Flächeninhaltsformel in der Wiki. Ansonsten hängt es nicht nur von der Anzahl der Eckpunkte ab, sondern auch wo diese liegen. Ich kann dir keinen allgemeinen Beweis dafür hinschrieben.
Einen Weg wie man darauf kommt, hab ich dir ja beschrieben.
Dein Objekt lässt sich in jedem Fall in eine obere und untere Hälfte aufteilen und zwar so, dass man den oberen (und unteren Rand) als Polygonzug formulieren kann. Also als eine Funktion f(x) (g(x) für den unteren Rand), die Abschnittsweise definiert ist und deren Abschnitte gerade die x-Werte der Punkte des Polygons sind, die oberhalb (unterhalb)der Aufteiltung in oben und unten liegen. Ich hab leider kein Zeichenprogramm,dass sowas gut malen kann. Ich hab dir mal ein Bild angehängt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Betrachte das Polygon, dass von den 5 Geraden eingegrenzt wird. Den oberen Rand kann man darstellen als
[mm] f(x)=\begin{cases} 0,5x+1, & \mbox{für } x\in[-1;2] \\ -0,5+3, & \mbox{für } x\in[2;6,67] \end{cases}
[/mm]
die Abschnitte sind jeweils die Schnittpunkte der Geraden.(die Schnittpunkte hab ich abgelesen, müssen nicht exakt stimmen)
Analog kann man den untereren Rand angeben.
Andererseits kannst du das Polygon natürlich in Dreiecke usw. aufteilen und den Flächeninhalt herkömmlich bestimmen. Wie man daraus aber jetzt einen Beweis hinschreibt, so wie ihr das machen sollt, weiss ich auch nichtm tut mir leid.
L G walde
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Mi 05.07.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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