Integralrechnung < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:54 So 25.06.2006 | | Autor: | F22 |
| Aufgabe | | Berechne [mm]\int_0^{\wurzel{\pi}} x*\sin(x^2)dx [/mm] |
Hallo,
für die meisten wird sich meine Frage schwachsinnig anhören, aber ich habe in Mathe noch nie von einem Gebiet so wenig verstanden wie vom Bilden von Integralen.
Oben genannte Aufgabe hat unser Dozent sogar an der Tafel vorgerechnet, d.h. ich habe die Lösung; jedoch verstehe ich sie nicht:
[mm]g(x)=x^2 \quad und \quad g'(x)=2x [/mm] folgt:
[mm]= \Bruch{1}{2} \int_0^{\wurzel{\pi}} g'(x)*\sin(g(x)) [/mm]
und genau hier hört es mit meinem Verständnis schon auf: was wurde aus dem [mm] x [/mm] da vor dem [mm]sin(x^2) [/mm] stand?
Meiner Meinung nach sollte hieraus ein [mm]\bruch{1}{2} x^2 [/mm] werden.
Kann mir das bitte jemand erklären?
Gruß und Dank
F22
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:45 So 25.06.2006 | | Autor: | shark4 |
Hallo F22,
im Prinzip hast du Recht, das aus [mm] x [/mm] müsste [mm] \frac{x^{2}}{2} [/mm] werden, aber nur wenn [mm] x [/mm] allein stehen würde.
Man kann aber auch so herangehen (jetzt erstmal für das unbestimmte Integral):
Wenn man als Ableitung [mm] \sin(x^2) [/mm] dabei hat muss eigentlich noch die innere Ableitung (also die Ableitung von [mm] x^2 [/mm] irgendwo auftauchen, d.h die Ableitung müsste eigentlich [mm] \sin(x^2) * 2x [/mm] lauten. So wäre zumindest schon die Frage mit dem verbliebenem [mm] x [/mm] geklärt.
Da du nun [mm] x * \sin(x^2) [/mm] integrieren musst fehlt eigentlich nur noch die 2, demnach muss das Integral [mm] \frac{1}{2} [/mm] als Faktor beinhalten. Da [mm] -\cos x [/mm] das Integral von [mm] \sin x [/mm] ist,
folgt:
[mm] \int x * \sin(x^2) d x = -\frac{1}{2} \cos(x^2) + c[/mm]
Beim bestimmten Integral lautet es eigentlich so:
[mm] \int_{0}^{\sqrt{\pi}} x * \sin(x^2) d x = \left[-\frac{1}{2} \cos(x^2)\right]_0^\sqrt{\pi}[/mm]
Alles geklärt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 So 25.06.2006 | | Autor: | F22 |
So, ich habe nun verstanden, wie dieses Integral zustande kommt. Leider hilft mir dies nicht viel.
Wenn ich dies so in einer Übung vorlege, dann steht dahinter ein großes "Warum?". Gibt es denn keine Formel oder Regel, nach der man dies ableiten kann? Dieshier sieht so erraten aus.
Außerdem bringt es einem bei der Funktion[mm] -\frac{1}{2}x^2*\sin(x) [/mm] rein garnichts.
Trotzdem Danke
F22
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:14 Mo 26.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo F22
Wir sehen auf nette Formen wie Begrüßung und so!
> So, ich habe nun verstanden, wie dieses Integral zustande
> kommt. Leider hilft mir dies nicht viel.
> Wenn ich dies so in einer Übung vorlege, dann steht
> dahinter ein großes "Warum?". Gibt es denn keine Formel
> oder Regel, nach der man dies ableiten kann? Dieshier sieht
> so erraten aus.
In diesem Fall gibt es keine formeln oder so, aber ne Menge ähnliche Fälle, und das ist nicht einfach raten, sondern eine gewisse Übersicht über die Kettenregel:
(sin(f(x))'=f'(x)*cos(f(x)) entsprechend mit cos
[mm] (e^{f(x)})'=f'(x)*e^{f(x)}
[/mm]
(ln(f(x))' =f'(x)/f(x)
das sind die, die am häufigsten auftreten!
Und geschicktes "Raten" ist bei Integralen oft das schnellste. Auf die Frage "Warum" immer die Antwort, die Ableitung ergibt den Integranden!
> Außerdem bringt es einem bei der Funktion[mm] -\frac{1}{2}x^2*\sin(x)[/mm]
> rein garnichts.
Das ist völlig richtig! Man kann nicht alle Integrale mit der sog. "Substitutionsregel integrieren, so auch dieses nicht.
Hier greift die sog. partielle Integrationsregel, die Umkehrung der Produktregel:
(u*v)'=u'v+uv'
daraus uv= [mm] \integral{u'v dx} +\integral{uv' dx}
[/mm]
daraus [mm] \integral{u'v dx}=uv- \integral{uv' dx}
[/mm]
in diesem Fall nimmst du als u'=sinx dann hast du u=-cosx [mm] v=x^{2} [/mm] v'=2x
Und kommst auf das Integral x*cosx das behandelst du noch mal mit der Regel, jetzt v=x u'=cosx und dann hast du nur noch Integral von sinx.
Es hilft dir nichts, als zu üben, und wenn du nicht weiterweisst unseren klugen Rat zu holen.
Nicht entmutigen lassen, nach einiger Zeit wirds leichter! Auch das kleine 1 mal 1 hat vor Urzeiten mal viel Übung erfordert, und jetzt knnst dus doch!!
Gruss leduart
|
|
|
|
