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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:24 So 26.02.2006 | | Autor: | marabu |
| Aufgabe | Es sei [mm] I_{n}=\integral_{0}^{1}{(1-x^2)^n dx} [/mm] mit n [mm] \in \IN
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt [mm] I_{n}= \bruch{2*n}{2*n+1}*I_{n-1}
[/mm]
Anleitung:Führen Sie eine Produktintegration durch und setzen Sie dann [mm] -x^2=(1-x^2)-1 [/mm] |
Ich habe massive Probleme beim Lösen der Aufgabe; habe nach einer Produktintegration und Vereinfachungen heraus:
[mm] \integral_{0}^{1}{(1-x^2)^n dx}=x*(1-x^2)^n-2*n* \integral_{0}^{1}{-x^2(1-x^2)^{n-1} dx}
[/mm]
Würde mich über ein paar Tipps sehr freuen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:40 So 26.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo marabu!
Bei Deiner Umformung hast du noch die Integrationsgrenzen beim ersten Term der partiellen Integration unterschlagen.
Zudem solltest Du nun den Umformungstipp in dem Integral anwenden und die Klammer ausmultiplizieren. Dadurch entstehen dann exakt die Terme für [mm] $I_n$ [/mm] bzw [mm] $I_{n-1}$ [/mm] und daraus die Behauptung.
[mm]\integral_{0}^{1}{(1-x^2)^n dx} \ = \ \red{\left[}x*(1-x^2)^n\red{\right]_0^1}-2n* \integral_{0}^{1}{\blue{[(1-x^2)-1]}*(1-x^2)^{n-1} dx} \ = \ ...[/mm]
Anschließend die entstehende Gleichung nach [mm] $I_n [/mm] \ = \ ...$ umstellen.
Gruß
Loddar
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