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Der Punkt B= (0;b) mit b>0 liegt auf der x-Achse der Parabel y=ax² mit a>0. Für welche Punkte P der Parabel ist die Entfernung d zwischen B und P extremal?
Welche Beziehung zwischen a und b bestehen, damit es genau einen bzw. genau zwei Punkte auf der Parabel mit minimaler Entfernung von B gibt?
So eine Aufgabe hab ich das erste mal gesehen ich hoffe, dass jemand mir bei dieser Aufgabe helfen kann.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi, Hamburg,
> Der Punkt B= (0;b) mit b>0 liegt auf der x-Achse (...)
Unsinn! Der Punkt B liegt auf der y-Achse!!!
> (...) der Parabel y=ax² mit a>0. Für welche Punkte P der Parabel ist
> die Entfernung d zwischen B und P extremal?
> Welche Beziehung zwischen a und b bestehen, damit es genau
> einen bzw. genau zwei Punkte auf der Parabel mit minimaler
> Entfernung von B gibt?
Setze den Punkt P auf der Parabel zunächst allgemein an:
P(x / [mm] ax^{2})
[/mm]
Die Entfernung der Punkte B und P berechnet sich (nach Pythagoras):
[mm] \overline{BP} [/mm] = d(x) = [mm] \overline{BP} [/mm] = [mm] \wurzel{(x-0)^{2} + (ax^{2}-b)^{2}}
[/mm]
Also:
d(x) = [mm] \wurzel{x^{2} + a^{2}*x^{4}-2abx^{2}+b^{2}}
[/mm]
d(x) nimmt genau dann Extremwerte an, wenn dies auch die Radikandenfunktion
g(x) = [mm] x^{2} [/mm] + [mm] a^{2}*x^{4}-2abx^{2}+b^{2} [/mm] = [mm] a^{2}*x^{4} +(1-2ab)x^{2} [/mm] + [mm] b^{2} [/mm] tut.
Du musst nun also diese Funktion g(x) auf (absolute!) Extrema untersuchen:
Ableiten, Ableitung =0 setzen, etc.
Die Zusatzfrage (eine oder zwei Punkte?) ist vorrangig so zu verstehen, dass es in bestimmten Fällen nur die Lösung x=0 gibt.
Probier's mal, dann siehst Du, was ich meine!
PS: Wieso schreibst Du in der Überschrift: "Integralrechnung"?
Was hat die Aufgabe mit Integralrechnung zu tun?
Oder kommt hinterher noch was?
mfG!
Zwerglein
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Also mir wurde als Tipp das hier gegeben : d(RS)= [mm] \wurzel{(x_{1}-x_{2})²+(y_{1}+y_{2})²} [/mm] < Dieses Funktionterm können wir noch nicht ableiten!
Aber [mm] \wurzel{f(x)} [/mm] und f(x) haben an den gleichen Stellen ihre Extrempunkte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:08 Sa 03.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Hamburg!
Bitte lies Dir mal Zwerglein's Antwort genau durch.
Da wurden exakt diese Tipps "verarbeitet".
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:22 Sa 03.12.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Hamburg,
> Also mir wurde als Tipp das hier gegeben : d(RS)=
> [mm]\wurzel{(x_{1}-x_{2})²+(y_{1}+y_{2})²}[/mm] < Dieses
> Funktionterm können wir noch nicht ableiten!
> Aber [mm]\wurzel{f(x)}[/mm] und f(x) haben an den gleichen Stellen
> ihre Extrempunkte
Da ist ein Vorzeichenfehler in Deinem "Tipp"!
Es muss heißen:
[mm] \wurzel{(x_{1}-x_{2})²+(y_{1}-y_{2})²}
[/mm]
Naja und ansonsten: Was Loddar schon gesagt hat!
mfG!
Zwerglein
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hmm in meinem Heft steht ein anderes Funktionsterm, da steht anstatt - (Minus) +Plus. Entweder hat mein Lehrer es Falsch geschrieben oder ich hab beim Abschreiben + geschrieben
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:47 So 04.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Hamburg!
Da gehört auf jeden Fall jeweils ein Minuszeichen bei der Abstandsformel zweier Punkte:
$d(P;Q) \ = \ [mm] \wurzel{\left(x_Q-x_P\right)^2 + \left(y_Q-y_P\right)^2 \ }$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Ich versucht die Aufagbe zu lösen aber ab bestimmter Stelle konnte ich nicht mehr weitermachen:
f (x)= [mm] a^{2}\cdot{}x^{4} +(1-2ab)x^{2} [/mm]
f´(x)= 4a²x³+(1-2ab)2x
f´(x)= 0 [mm] \gdw [/mm] x= 0
4a²x³+(2-4ab)x=0 [mm] \parallel [/mm] : x [mm] \not=0 [/mm] d(x)
[mm] \gdw [/mm] 4a²x²+(2-4ab)=0
[mm] \gdw [/mm] 4a²x² = 4ab-2
x²= [mm] \bruch{4ab-2}{4a²}
[/mm]
x²= [mm] \bruch{2ab-1}{2a²}
[/mm]
Also ab hier konnte ich nicht meh weitermachen
[mm] \gdw [/mm] x= + [mm] \wurzel{.....} [/mm] - [mm] \wurzel{.....} [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:03 Mo 05.12.2005 | | Autor: | Lolli |
> Ich versucht die Aufagbe zu lösen aber ab bestimmter Stelle
> konnte ich nicht mehr weitermachen:
>
> f (x)= [mm]a^{2}\cdot{}x^{4} +(1-2ab)x^{2}[/mm]
> f´(x)= 4a²x³+(1-2ab)2x
> f´(x)= 0 [mm]\gdw[/mm] x= 0
>
> 4a²x³+(2-4ab)x=0 [mm]\parallel[/mm] : x [mm]\not=0[/mm] d(x)
> [mm]\gdw[/mm] 4a²x²+(2-4ab)=0
> [mm]\gdw[/mm] 4a²x² = 4ab-2
> x²= [mm]\bruch{4ab-2}{4a²}[/mm]
> x²= [mm]\bruch{2ab-1}{2a²}[/mm]
Als Lösungen bleiben:
[mm] x_{1} [/mm] = 0
[mm]\gdw[/mm] [mm] x_{2} [/mm] = + [mm]\wurzel{\bruch{2ab-1}{2a²}}[/mm]
[mm] x_{3} [/mm] = - [mm]\wurzel{\bruch{2ab-1}{2a²}}[/mm]
Dies sind deine Lösungen (den Bruch unter der Wurzel kannst du vielleicht noch vereinfachen, je nach dem, was sich als folgeaufgabe anschließt)
> Also ab hier konnte ich nicht meh weitermachen
Welches Problem besteht nun weiter ?
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Welche Beziehung zwischen a und b bestehen, damit es genau einen bzw. zwei Punkte auf der Parabel mit minimaler entfernung von B gibt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:34 Mo 05.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Hamburg!
> Welche Beziehung zwischen a und b bestehen, damit es genau
> einen bzw. zwei Punkte auf der Parabel mit minimaler
> entfernung von B gibt?
Meines Erachtens existieren höchstens die Varianten "genau eine" oder aber "genau drei" Minima (wobei zwei davon achsensymmetrisch zur y-Achse liegen).
Untersuche hierfür mal den Ausdruck unter Wurzel von [mm] $x_{2/3}$ [/mm] .
Wenn dieser Ausdruck negativ wird, existiert lediglich ein Minimum bei [mm] $x_1 [/mm] \ = \ 0$.
Gruß
Loddar
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Soll ich den Ausdruck von diesen Wurzeln untersuchen:
[mm] x_{2}= +\wurzel{\bruch{2ab-1}{2a²}}
[/mm]
[mm] x_{3}= -\wurzel{\bruch{2ab-1}{2a²}}
[/mm]
wenn ja wie soll ich es untersuchen ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:41 Di 06.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Hamburg!
Genau diese Wurzelausdrücke sollst Du untersuchen.
Weise nach z.B. für genau ein Minimum: [mm] $\bruch{2ab-1}{2a^2} [/mm] \ < \ 0$
Gruß
Loddar
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Hi, Hamburg,
> Soll ich den Ausdruck von diesen Wurzeln untersuchen:
> [mm]x_{2}= +\wurzel{\bruch{2ab-1}{2a²}}[/mm]
> [mm]x_{3}= -\wurzel{\bruch{2ab-1}{2a²}}[/mm]
>
> wenn ja wie soll ich es untersuchen ?
Nun, wenn 2ab - 1 < 0 ist, dann GIBT ES DIESE BEIDEN LÖSUNGEN GAR NICHT!
(Ach ja: Und wenn 2ab-1=0 ist, gibt es ebenfalls nur die Lösung x=0.)
Heißt: Für 2ab-1 [mm] \le [/mm] 0 ist der Punkt mit dem kleinsten Abstand von P(0 / b)
der Nullpunkt N(0 / 0) (bzw. der Scheitel der Parabel!).
Ist hingegen 2ab - 1 > 0, so gibt es 3 mögliche Extremstellen
(Loddar redet von 3 "Minima" aber das ist natürlich ein Schreibfehler, denn mindestens eins davon ist ein Maximum!)
Um herauszufinden, welches davon den kleinsten Wert ergibt, kannst Du die Lösungen in die Ausgangsfunktion einsetzen und die Ergebnisse vergleichen. (Bei Deiner Ausgangsfunktion fehlt übrigens das [mm] b^{2}!)
[/mm]
f(x) = [mm] a^{2}x^{4} [/mm] + [mm] (1-2ab)x^{2} [/mm] + [mm] b^{2}
[/mm]
x=0 eingesetzt: f(0) = [mm] b^{2}
[/mm]
x= [mm] \wurzel{\bruch{2ab-1}{2a^{2}}} [/mm] eingesetzt:
f(...) = [mm] a^{2}*(\bruch{2ab-1}{2a^{2}})^{2} [/mm] + [mm] (1-2ab)*\bruch{2ab-1}{2a^{2}} [/mm] + [mm] b^{2}
[/mm]
= [mm] b^{2} [/mm] - [mm] \bruch{(2ab-1)^{2}}{4a^{2}}
[/mm]
was offensichtlich KLEINER ist als [mm] b^{2} [/mm]
und deshalb liegen in diesem Fall (also für 2ab-1 > 0) bei [mm] x_{2/3} [/mm] zwei (absolute) Minimalstellen,
bei x=0 eine relative Maximalstelle.
mfG!
Zwerglein
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