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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:22 Mi 08.01.2014 | | Autor: | LadyVal |
| Aufgabe | Berechnen Sie das folgende bestimmte Integral:
[mm] \integral_{0}^{3}{\bruch{3x^{2}}{x^{3}-4}dx} [/mm] |
Hallo:)
Die Stammfunktion F (x) = ln [mm] (x^{3}-4) [/mm] + c ist einleuchtend..
In der Musterlösung wird mit einem einzigen Integral von 0 bis 3 gerechnet und entsprechend Betragsstriche gesetzt.
Ich verstehe, dass man bei der Aufleitung einen Betrag um [mm] (x^{3}-4) [/mm] setzen muss, damit man den Flächeninhalt, der von 0 bis [mm] \wurzel[3]{4} [/mm] unterhalb der x-Achse ist, positiv bekommt.
Und ohne das Hilfsmittel eines GTRs (Grafikfähiger Taschenrechners) würde ich nicht stutzen.
Ich habe dann aber zur Kontrolle den GTR verwendet und zuerst versucht, das Integral der ln-Betragsfunktion zu berechnen. Da kam dann error.
Als 2. Versuch habe ich das Integral aufgeteilt, eines von 0 bis [mm] \wurzel[3]{4} [/mm] und das andere von [mm] \wurzel[3]{4} [/mm] bis 3.
Als Ergebnis der beiden zusammengerechneten Werte, erhielt ich nicht 1,75 (Wert, der in der Musterlösung genannt wird), sondern irgendwas um die 4,7.
Ich habe gerade leider keinen GTR mehr zur Hand und kann daher nicht genaue Werte liefern.
Kann mir jemand die Verwirrung nehmen, die die Berechnung mithilfe des GTR bei mir angerichtet hat?
Es müsste mit dem GTR ja auch irgendwie 1,75 rauskommen...
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:44 Mi 08.01.2014 | | Autor: | Bluma89 |
Die Betragsstriche gehören dabei zur Stammfunktion selbst und nicht zur Lösung der Aufgabe. Die Stammfunktion lautet [mm] F(x)=ln(|x^3-4|).
[/mm]
Du hast die Aufgabe hier falsch verstanden, du sollst nicht den gemeinsamen Flächeninhalt unter der Funktion berechnen, sondern das Integral, Vorzeichen werden somit nicht(!) neutralisiert, das heißt harte Grenze von 0 bis 3 ohne Aufaddition der eigentlichen Flächen in Hilfsgrenzen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:55 Mi 08.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie das folgende bestimmte Integral:
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> [mm]\integral_{0}^{3}{\bruch{3x^{2}}{x^{3}-4}dx}[/mm]
> Hallo:)
>
> Die Stammfunktion F (x) = ln [mm](x^{3}-4)[/mm] + c ist
> einleuchtend..
> In der Musterlösung wird mit einem einzigen Integral von 0
> bis 3 gerechnet und entsprechend Betragsstriche gesetzt.
> Ich verstehe, dass man bei der Aufleitung einen Betrag um
> [mm](x^{3}-4)[/mm] setzen muss, damit man den Flächeninhalt, der
> von 0 bis [mm]\wurzel[3]{4}[/mm] unterhalb der x-Achse ist, positiv
> bekommt.
> Und ohne das Hilfsmittel eines GTRs (Grafikfähiger
> Taschenrechners) würde ich nicht stutzen.
>
> Ich habe dann aber zur Kontrolle den GTR verwendet und
> zuerst versucht, das Integral der ln-Betragsfunktion zu
> berechnen. Da kam dann error.
>
> Als 2. Versuch habe ich das Integral aufgeteilt, eines von
> 0 bis [mm]\wurzel[3]{4}[/mm] und das andere von [mm]\wurzel[3]{4}[/mm] bis 3.
> Als Ergebnis der beiden zusammengerechneten Werte, erhielt
> ich nicht 1,75 (Wert, der in der Musterlösung genannt
> wird), sondern irgendwas um die 4,7.
> Ich habe gerade leider keinen GTR mehr zur Hand und kann
> daher nicht genaue Werte liefern.
>
> Kann mir jemand die Verwirrung nehmen, die die Berechnung
> mithilfe des GTR bei mir angerichtet hat?
> Es müsste mit dem GTR ja auch irgendwie 1,75
> rauskommen...
Das Integral
[mm]\integral_{0}^{3}{\bruch{3x^{2}}{x^{3}-4}dx}[/mm]
ist ein uneigentliches Integral, denn der Integrand ist auf [0,3] unbeschränkt.
Das Integral ist konvergent [mm] \gdw [/mm] die Integrale
(*) [mm]\integral_{0}^{\wurzel[3]{4}}{\bruch{3x^{2}}{x^{3}-4}dx}[/mm] und [mm]\integral_{\wurzel[3]{4}}^{3}{\bruch{3x^{2}}{x^{3}-4}dx}[/mm]
sind beide konvergent.
Nun sind aber beide Integrale in (*) divergent, also ist [mm]\integral_{0}^{3}{\bruch{3x^{2}}{x^{3}-4}dx}[/mm] divergent !
Das sieht man so:
Sei 0<a< [mm] \wurzel[3]{4}.
[/mm]
Dann ist
[mm]\integral_{0}^{a}{\bruch{3x^{2}}{x^{3}-4}dx}= [\ln(4-x^3)]_0^a=\ln(4-a^3)-\ln(4) \to - \infty[/mm] für $a [mm] \to \wurzel[3]{4}$.
[/mm]
Zur Übung zeige Du, dass
[mm]\integral_{\wurzel[3]{4}}^{3}{\bruch{3x^{2}}{x^{3}-4}dx}[/mm]
divergiert.
FRED
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> Danke!
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