Integralrechn. Substitution < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:13 Di 19.04.2005 | | Autor: | Jen19 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo leute!
Ich hab da ne frage:
Ich versuche seit einiger zeit (best, zwei std) die substitutionsregel für die berechnung eines integrals zu verstehen...
Vielleicht könnt ihr mir ja helfen und noch mal einen erklährungsansatz liefern!
Das einzige was ich verstehe ist, das es sich um eine umgekehrte version der Kettenregel handeln muss, aber wie ich jetzt konkret so eine Aufgabe löse weis ich nicht!
ZBsp wie kriege ich fogendes aufgeleitet: [mm] h(x)=2x*6(x^2+3)^9
[/mm]
danke schon mal im vorraus
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Hi, Jen,
also: [mm] \integral{2x*6(x^{2}+3)^{9}dx} [/mm] = (***)
Du substituierst am besten die Klammer: z = [mm] (x^{2}+3) [/mm] (SUB)
Da bei einer Substitution die Integrationsvariable geändert wird, muss auch das "dx" ersetzt werden.
Wo kommt dx noch vor?
Antwort: In der Ableitung!
Man kann nämlich statt f'(x) auch schreiben: [mm] \bruch{df(x)}{dx}.
[/mm]
Bei uns ist z ja letztlich eine Funktion in der Variablen x. Wir können diese Funktion ableiten, also z' = [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] bilden:
[mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] = 2x
<=> dz = 2x*dx.
Manchmal löst man das nach dx auf, aber hier kannst Du "2xdx" als Ganzes durch dz ersetzen!
(***) = [mm] \integral{6*z^{9}dz}
[/mm]
(Wir haben die Klammer durch z ersetzt und das übriggebliebene 2xdx durch dz!)
Jetzt kann man nach der Variablen z integrieren ("Hochzahlregel"):
(***) = [mm] 6*\bruch{1}{10}*z^{10} [/mm] + c
Nun haben wir noch ein klitzekleines Problem:
Die zu integrierende Funktion hatte die Variable x; also sollte das Ergebnis (die Stammfunktion) dieselbe Variable haben, nicht aber z!
Wir machen dazu einfach die obere Substitution (SUB) rückgängig, ersetzen z wieder durch die Klammer:
(***) = [mm] \bruch{3}{5}*(x^{2}+3)^{10} [/mm] + c
Noch Fragen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:05 Di 19.04.2005 | | Autor: | Jen19 |
Danke schon mal... ich glaub da bin ich schon ein stück weiter...
Aber eins noch:
Wir haben nie im untericht mit f'(x)= df(x)/dx gearbeitet...
heist das, dass im nenner immer "d>die abzuleitendefkt<" (wober in >die abzuleitendefkt< auch diese eingesetzt werden soll...eben z doer f(x) ) und im zähler immer "dx"?
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Hi, Jen,
bist mir nicht bös', wenn ich nicht alles nachvollziehen kann, was Du schreibst!
Ich antworte mal sozusagen "blind":
Wichtig ist, dass Du auch das "dx" im Integral ersetzt und das geht halt nur mit Hilfe der Ableitung von z = g(x), also der "Ableitung der Substitution":
z' = g'(x) <=> [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] = g'(x)
und daraus: dx = [mm] \bruch{dz}{g'(x)}.
[/mm]
Das g'(x) muss beim Einsetzen ins Integral rausfallen, sonst hast Du ein Problem! (Hier zeigt sich oft, ob die Substitutionsmethode überhaupt angewandt werden kann!)
Mach' mal ein weiteres Beispiel!
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