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| Aufgabe | a) Geben Sie alle Integralkurven des Vektorfelds v(x,y,z) = (x,y,x+y+z) an.
b) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung u(x,y,z) der Gleichung
[mm] x\frac{\partial u}{\partial x} [/mm] + [mm] y\frac{\partial u}{\partial y} [/mm] + [mm] (x+y+z)\frac{\partial u}{\partial z}=0. [/mm]
c) Lösen Sie die Differentialgleichung
[mm] x\frac{\partial z}{\partial x} [/mm] + [mm] y\frac{\partial z}{\partial y} [/mm] = x+y+z
mit der unbekannten Funktion z=z(x,y). |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?post_id=1541365&topic=210496
Hallo
Ich versuche gerade obige Aufgabe zu lösen. Dazu habe ich bei Aufgabenteil a) gelöst
[mm] \dot{x}(t) [/mm] = x
[mm] \dot{y}(t) [/mm] = y
[mm] \dot{z}(t) [/mm] = x+y+z.
Das hat mich auf
x(t) = [mm] Ae^t [/mm]
y(t) = [mm] Be^t [/mm]
z(t) = [mm] (A+B)te^t [/mm] + [mm] Ce^t [/mm]
geführt. Um jetzt in b) die allgemeine Lösung zu bestimmen, suche ich zwei Integrale erster Art, also zwei Funktionen [mm] \phi_1(x,y,z), \phi_2(x,y,z) [/mm] mit [mm] \dot{\phi_1} [/mm] = 0 und [mm] \dot{\phi_2} [/mm] = 0. Die Lösung müsste dann die Form haben
u(x,y,z) = [mm] f(\phi_1,\phi_2).
[/mm]
Dafür habe ich gesetzt
[mm] \phi_1 [/mm] = [mm] \frac [/mm] xy = [mm] \frac [/mm] AB
[mm] \phi_2 [/mm] = [mm] \frac{z}{x+y} [/mm] - [mm] \ln(x) [/mm] = [mm] \frac{C}{A+B} [/mm] - [mm] \ln(A) [/mm]
Die allgemeine Lösung lautet damit also
u(x,y,z) = [mm] f(\frac xy,\frac{z}{x+y} [/mm] - [mm] \ln(x)). [/mm]
Ab hier komme ich nicht weiter. Die Lösung aus b) hilft mir ja sicherlich, um die Lösung der Gleichung in c) zu finden. Ich stehe aber gerade echt auf dem Schlauch, wie ich das machen muss. Über Denkanstöße wäre ich wirklich dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:41 Fr 14.08.2015 | | Autor: | fred97 |
Ist v eine Lösung der DGL in c), so setze
u(x,y,z):=v(x,y)-z.
Zeige: u löst die DGL in b).
FRED
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