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Warum muss man beim Integralkriterium unterschiedliche Grenzen setzen, je nachdem ob man auf Divergenz oder Konvergenz prüft?
Bsp 1:
Divergenz von [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^\bruch{1}{2}} [/mm] beweisen. Hier kann die Grenze wohl direkt genutzt werden also [mm] \integral_{1}^{\infty}{ \bruch{1}{x^\bruch{1}{2}} dx}=\infty [/mm] => divergent
Bsp 2:
Bei der Konvergenzprüfung muss offenbar - warum auch immer - Die Grenze mit (-1) angepasst werden.
Aufgabe: Beweisen Sie, dass [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^2} [/mm] konvergent ist.
Hier darf ich -laut meinen Unterlagen - nicht einfach rechnen: [mm] \integral_{1}^{\infty}{ \bruch{1}{x^2}dx}=1 [/mm] => konv, sondern ich muss die Grenze um -1 ändern. Also: [mm] \integral_{0}^{\infty}{ \bruch{1}{x^2} dx}. [/mm] Da das hier nicht definiert ist, muss ich alternativ die Reihe anpassen. Also:
[mm] \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{1}{n^2} [/mm] entspricht [mm] \integral_{1}^{\infty}{ \bruch{1}{x^2} dx}=1 [/mm] für [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^2} [/mm] muss ich nun nochmal rechnen f(x)= [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] f(1)=1 1+1=2 => konv.
Warum muss das dort so kompliziert? Muss man das immer machen oder nur bei der Betrachtung von Näherungsfehlern?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:35 Di 26.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Warum muss man beim Integralkriterium unterschiedliche
> Grenzen setzen, je nachdem ob man auf Divergenz oder
> Konvergenz prüft?
>
> Bsp 1:
> Divergenz von [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^\bruch{1}{2}}[/mm]
> beweisen. Hier kann die Grenze wohl direkt genutzt werden
> also [mm]\integral_{1}^{\infty}{ \bruch{1}{x^\bruch{1}{2}} dx}=\infty[/mm]
> => divergent
>
> Bsp 2:
> Bei der Konvergenzprüfung muss offenbar - warum auch
> immer - Die Grenze mit (-1) angepasst werden.
>
> Aufgabe: Beweisen Sie, dass [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^2}[/mm]
> konvergent ist.
>
> Hier darf ich -laut meinen Unterlagen - nicht einfach
> rechnen: [mm]\integral_{1}^{\infty}{ \bruch{1}{x^2}dx}=1[/mm] =>
> konv, sondern ich muss die Grenze um -1 ändern. Also:
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{ \bruch{1}{x^2} dx}.[/mm] Da das hier
> nicht definiert ist, muss ich alternativ die Reihe
> anpassen. Also:
>
>
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{1}{n^2}[/mm] entspricht
> [mm]\integral_{1}^{\infty}{ \bruch{1}{x^2} dx}=1[/mm] für
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^2}[/mm] muss ich nun nochmal
> rechnen f(x)= [mm]\bruch{1}{x^2}[/mm] f(1)=1 1+1=2 => konv.
>
> Warum muss das dort so kompliziert? Muss man das immer
> machen oder nur bei der Betrachtung von Näherungsfehlern?
kannst Du mal genau Eure Formulierung des Kriteriums wiedergeben?
Wenn ich mich an
![[]](/images/popup.gif) Wiki: http://de.wikipedia.org/wiki/Integralkriterium
halte, so sehe ich bei Beispiel 2.):
Ich setze $p:=1 [mm] \in \IZ\,.$ [/mm] Die Funktion
$f [mm] \colon [p,\infty)=[1,\infty) \to [0,\infty)$
[/mm]
mit [mm] $f(x):=1/x^2$ [/mm] ist monoton fallend (insbesondere steht oben, dass sie nur
nichtnegative Werte annimmt).
Also existiert
[mm] $\int_1^\infty \frac{1}{x^2}dx$
[/mm]
genau dann, wenn
[mm] $\sum_{n=p}^\infty f(n)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$
[/mm]
konvergiert.
Da
[mm] $\int_1^\infty \frac{1}{x^2}dx=\left[-\frac{1}{x}\right]_{x=1}^\infty=1$
[/mm]
ist, konvergiert [mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\,.$
[/mm]
Da ist NIX mit Indexverschiebung oder sowas von Nöten.
[Das Beispiel wird sogar bei Wiki selbst gerechnet:
http://de.wikipedia.org/wiki/Integralkriterium#Beispiel.]
Auch beim ersten Beispiel: Sei $g [mm] \colon [p,\infty)=[1,\infty) \to [0,\infty)$ [/mm] gegeben durch
[mm] $g(x):=1/x\,.$
[/mm]
Da $g [mm] \ge [/mm] 0$ monoton fallend auf [mm] $[1,\infty)$ [/mm] ist, konvergiert
[mm] $\sum_{n=1}^\infty g(n)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$
[/mm]
genau dann, wenn
[mm] $\int_1^\infty g(x)dx=\int_1^\infty \frac{1}{x}dx$
[/mm]
konvergiert. Letztstehendes Integral divergiert wegen
[mm] $\int_1^\infty \frac{1}{x}dx=...=\lim_{1 < b \to \infty}(\ln(b)-\ln(1))=\lim_{1 < b \to \infty}\ln(b)=\infty$
[/mm]
aber; also divergiert auch
[mm] $\sum_{n=1}^\infty g(n)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:59 Di 26.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal,
> Warum muss man beim Integralkriterium unterschiedliche
> Grenzen setzen, je nachdem ob man auf Divergenz oder
> Konvergenz prüft?
wie gesagt, das ist eigentlich Quatsch, wenn man das Kriterium richtig
formuliert.
> Bsp 2:
> Bei der Konvergenzprüfung muss offenbar - warum auch
> immer - Die Grenze mit (-1) angepasst werden.
>
> Aufgabe: Beweisen Sie, dass [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^2}[/mm]
> konvergent ist.
>
> Hier darf ich -laut meinen Unterlagen - nicht einfach
> rechnen: [mm]\integral_{1}^{\infty}{ \bruch{1}{x^2}dx}=1[/mm] =>
> konv, sondern ich muss die Grenze um -1 ändern. Also:
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{ \bruch{1}{x^2} dx}.[/mm] Da das hier
> nicht definiert ist, muss ich alternativ die Reihe
> anpassen. Also:
Ich schätze einfach mal, ihr arbeitet direkt mit der Ungleichung aus der
Wiki: Formulierung.
Dort steht
[mm] $\sum_{n=p+1}^\infty f(n)\;\le\;\int_p^\infty [/mm] f(x)dx$,
und wenn man diese benutzt, so folgt (weil die Reihe linkerhand dann wachsend
und nach oben beschränkt ist) die Konvergenz der linken Reihe, wenn das
Integral rechterhand konvergiert.
>
>
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{1}{n^2}[/mm] entspricht
> [mm]\integral_{1}^{\infty}{ \bruch{1}{x^2} dx}=1[/mm] für
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^2}[/mm] muss ich nun nochmal
> rechnen f(x)= [mm]\bruch{1}{x^2}[/mm] f(1)=1 1+1=2 => konv.
>
> Warum muss das dort so kompliziert? Muss man das immer
> machen oder nur bei der Betrachtung von Näherungsfehlern?
Nein, eigentlich ist das Ganze echt unnötig kompliziert. Der Satz ist direkt
und ohne diese unnötige Brumborium auf Wiki formuliert, und so kannst Du
ihn auch benutzen.
Das "Wichtige" ist, dass
[mm] $\blue{\sum_{n=p}^\infty f(n)}$ [/mm]
genau dann konvergiert, wenn
[mm] $\blue{\sum_{n=p+1}^\infty f(n)}$ [/mm]
konvergiert. Daher zeigt die Ungleichungskette
[mm] $\sum_{n=p+1}^\infty [/mm] f(n) [mm] \leq \int_p^\infty [/mm] f(x) [mm] \,\mathrm [/mm] dx [mm] \leq \sum_{n=p}^\infty [/mm] f(n)$,
die unter den gemachten Voraussetzungen an [mm] $f\,$ [/mm] gilt, sofort die Korrektheit
des Satzes so, wie er in Wiki formuliert ist.
Ihr arbeitet vermutlich ohne die blaue Info und direkt mit der Ungleichungskette,
daher macht ihr manchmal so einen *Indexshift*, den ihr aber eigentlich
nicht bräuchtet.
Gruß,
Marcel
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