Integralfunktion für Sinus < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:12 Mi 23.01.2008 | | Autor: | haploid |
Hallo!
Zuerst eine, wie ich glaube, relativ einfache Frage. Die Formelsammlung sagt mir ja folgendes:
[math] F(x) = \integral_{ }^{ }sin^2xdx = \bruch{1}{2} (x-sinxcosx) + C [/math]
Wenn ich jetzt die Ableitung bilde, müsste ja wieder die Integrandenfunktion das Ergebnis sein. Nach bestem Schul(ge)wissen erhalte ich aber:
[math] F'(x) = \bruch{1}{2} - \bruch{1}{2}cos^2x - \bruch{1}{2}sin^2x [/math]
Wie kann man das denn noch auf die Form [math] sin^2x [/math] bringen?
Ich bräuchte das ganze dazu, um die Wellenfunktion zu integrieren. Ich habe nämlich folgendes gegeben:
[math] F(x) = \integral_{ }^{ } |A|^2*sin^2(\bruch{n\pi}{a}*x)dx = |A|^2*[\bruch{1}{2}x-\bruch{a}{4n\pi}sin(\bruch{2n\pi}{a}x)] + C [/math]
Allerdings glaube ich, dass in der Stammfunktion der Faktor [math] cosx [/math] einfach weggelassen wurde, da ja [math]cos(n\pi) = \pm1 [/math]. Wie kann ich mir denn jetzt noch die "original" Stammfunktion verschaffen?
Mein Ziel ist es ja eigentlich nur, den HDI für diese Funktion zu beweisen...
Vielen Dank für alle Bemühungen!
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> Hallo!
> Zuerst eine, wie ich glaube, relativ einfache Frage. Die
> Formelsammlung sagt mir ja folgendes:
> [math]F(x) = \integral_{ }^{ }sin^2xdx = \bruch{1}{2} (x-sinxcosx) + C[/math]
>
> Wenn ich jetzt die Ableitung bilde, müsste ja wieder die
> Integrandenfunktion das Ergebnis sein. Nach bestem
> Schul(ge)wissen erhalte ich aber:
> [math]F'(x) = \bruch{1}{2} - \bruch{1}{2}cos^2x \red{-} \bruch{1}{2}sin^2x [/math]
>
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Das rot markierte Minus ist falsch, weil die Ableitung von [mm] $\cos(x)$ [/mm] nach $x$, gleich [mm] $\blue{-}\sin(x)$ [/mm] ist. Damit erhält man, wie erhofft, dass
[mm]F'(x) = \bruch{1}{2} - \bruch{1}{2}cos^2x \red{+} \bruch{1}{2}sin^2x=\bruch{1}{2}\big(1-\cos^2(x))+\bruch{1}{2}\sin^2(x)=\sin^2(x)[/mm]
> Wie kann man das denn noch auf die Form [math]sin^2x[/math] bringen?
>
> Ich bräuchte das ganze dazu, um die Wellenfunktion zu
> integrieren. Ich habe nämlich folgendes gegeben:
> [math]F(x) = \integral_{ }^{ } |A|^2*sin^2(\bruch{n\pi}{a}*x)dx = |A|^2*[\bruch{1}{2}x-\bruch{a}{4n\pi}sin(\bruch{2n\pi}{a}x)] + C[/math]
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> Allerdings glaube ich, dass in der Stammfunktion der Faktor
> [math]cosx[/math] einfach weggelassen wurde, da ja [math]cos(n\pi) = \pm1 [/math].
Ich glaube, Du hast nicht beachtet, dass man Deine Stammfunktion wegen [mm] $\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$ [/mm] auch als [mm] $F(x)=\frac{1}{2}\big(x-\frac{1}{2}\sin(2x)\big)=\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\sin(2x)$ [/mm] schreiben kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:52 Mo 28.01.2008 | | Autor: | haploid |
Danke! Ja, ich habe die Beziehung $ [mm] \sin(2x)=2\sin(x)\cos(x) [/mm] $ wirklich nicht beachtet. So geht das natürlich leicht...
Liebe Grüße, Eva
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