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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:58 Mi 15.04.2009 | | Autor: | gaugau |
Hallo,
ich versuche mir momentan die Behauptung zu erklären, dass zwar jede Integralfunktion eine Stammfunktion ist, aber nich jede Stammfunktion eine Integralfunktion. Könnte mir dabei jemand helfen?
Vielleicht gehe ich meine Überlegungen mal Schritt für Schritt durch. Ein Beispiel:
Die Menge aller Stammfunktionen der Funktion
$ f(x) = x $
lautet
$ F(x) = [mm] \bruch{1}{2}x^2 [/mm] + C $ .
Eine Stammfunktion mit C=2 lautet also bsp.
$ F(x) = [mm] \bruch{1}{2}x^2 [/mm] + 2 $
Die Integralfunktion lautet:
$ [mm] I_{a}(x) [/mm] = [mm] \integral_{a}^{x}{f(x) dx} [/mm] $
Wäre eine Stammfunktion dann auch eine Integralfunktion, so müsste für das Beispiel gelten:
$ F(x) = [mm] I_{a}(x) [/mm] = [mm] \integral_{a}^{x}{f(x) dx} [/mm] = F(x) - F(a) = ( [mm] \bruch{1}{2}x^2 [/mm] + 2 ) - ( [mm] \bruch{1}{2}a^2 [/mm] + 2 ) $ = [mm] \bruch{1}{2}x^2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}a^2
[/mm]
Woran erkenne ich nun, dass eine Stammfunktion keine Integralfunktion ist?
Danke für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:06 Mi 15.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Du hast es doch fast !
Für $f(x) = x$
sind die Integralfunktionen gegeben durch:
[mm] $\integral_{a}^{x}{f(t) dt} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}x^2-\bruch{1}{2}a^2$
[/mm]
Dies ist eine Stammfunktion , also von der Form [mm] $\bruch{1}{2}x^2+C$, [/mm] wobei hier $C [mm] =-\bruch{1}{2}a^2 \le [/mm] 0$
In diesem beispiel ist also die Konstante C bei einer Integralfunktion immer [mm] \le [/mm] 0.
Somit ist z. B. [mm] \bruch{1}{2}x^2+5 [/mm] eine Stammfunktion, aber keine Integralfunktion
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 Mi 15.04.2009 | | Autor: | gaugau |
Okay, soweit verstanden denke ich.
Dann ließe sich doch eigentlich allgemeiner folgern, dass eine Stammfunktion keine Integralfunktion sein kann, weil diese nicht die Menge aller Stammfunktionen (was die Integralfunktion ja erfüllt) sondern nur eine Teilmenge (im Beispiel $ C [mm] =-\bruch{1}{2}a^2 \le [/mm] 0 $ ) umfasst ?
Könnte man dann nicht ebenfalls sagen, dass keine (!) Stammfunktion mit $ C [mm] \not= [/mm] 0 $ eine Integralfunktion ist? Wenn doch, nenne mir bitte mal ein Gegenbeispiel...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:47 Mi 15.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Nimm mal f(x) = [mm] x^2
[/mm]
Die Integralfunktionen sind gegeben durch
[mm] \integral_{a}^{x}{t^2 dt} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}x^3-\bruch{1}{3}a^3
[/mm]
Ist jetzt C [mm] \in \IR, [/mm] so überlege Dir, dass es stets ein a [mm] \in \IR [/mm] gibt mit [mm] -\bruch{1}{3}a^3 [/mm] = C
In diesem Fall haben wir also:
Menge der Integralfunktionen = Menge der Stammfunktionen
FRED
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