Integralformel Cauchy f. Kreis < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Hallo
ich soll folgende Integrale mit der Cauchyschen Integralformel für Kreisscheiben berechnen:
a) [mm] \integral_{\partial K_2(0)}^{}\bruch{sinz}{z+i}dz
[/mm]
b) [mm] \integral_{\partial K_3(-2i)}^{}\bruch{1}{z^2+\pi^2}dz
[/mm]
Hier nochmal unsere Definition aus der Vorlesung:
[mm] f(z)=\bruch{1}{2\pi i} \integral_{\gamma}^{}\bruch{f(\zeta)}{\zeta - z}d\zeta
[/mm]
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Möchte eigentlich nur wissen, ob das, was ich da "rumgebastelt" hab, auch richtig ist (da ich eigtl noch nicht so recht weiß, wie genau ich diese Formel anzuwenden habe --> es war ein Kampf, zu wissen, dass das f(z) nicht der Integrand ist  !):
a) wähle: f(z)=sin z; z=-i
In die Formel einsetzen: Der Wert dieses Integrals ist falsch, denn [mm] sin(-i)\not=(-1) [/mm] !
[mm] \underbrace{sin(-i)*2\pi i}_{=-2\pi i}=\integral_{\gamma}^{}\bruch{sin(\zeta)}{\zeta+i}d\zeta
[/mm]
Da sin(z) auf der ganzen Kreisscheibe um 0 mit Radius 2 holomorph ist, ergibt sich also als Wert des Integrals [mm] -2i\pi.
[/mm]
b)wähle: [mm] f(z)=\bruch{1}{z-i\pi} [/mm] ; [mm] z=-i\pi
[/mm]
In die Formel einsetzen:
[mm] \underbrace{\bruch{1}{\underbrace{-i\pi-i\pi}_{=-2i\pi}}*2\pi i}_{=-1}=\integral_{\gamma}^{}\bruch{1}{\zeta-i\pi}*\bruch{1}{\zeta+i\pi}d\zeta=\integral_{\gamma}^{}\bruch{1}{\zeta^2+\pi^2}d\zeta
[/mm]
Da f(z) auf der ganzen Kreisscheibe um -2i mit Radius 3 holomorph ist,
ergibt sich also als Wert des Integrals -1.
Vielen Dank im Voraus fürs Drüberschauen!!!!
Lg FilleDeDanann
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:19 Do 26.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Alles richtig, nur mit sin(-i)=-1 bin ich nicht einverstanden. rechne nach, vielleicht bin ich zu müde.
Gruss leduart
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Hallo,
danke, dass du mich darauf hingewiesen hast!!! Mir waren nämlich die Formeln für den sin und den cos nicht mehr bewusst anscheinend. Hier also die richtige Berechnung von sin(-i):
Es gilt: [mm] sin(z)=\bruch{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}
[/mm]
Also: [mm] sin(-i)=\bruch{e^{i*(-i)}-e^{-i*(-i)}}{2i}=(e-\bruch{1}{e})(\bruch{1}{2i})
[/mm]
Wenn man das dann wieder in die linke Seite oben einsetzt, kommt also folgender Wert für das Integral raus:
[mm] (e-\bruch{1}{e})*\pi =\integral_{}{}{... d\zeta}
[/mm]
Das stimmt jetzt aber, oder?!?
Danke!!!
Lg FilleDeDanann
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:45 Do 26.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig
Gruss leduart
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