Integralfkt. abschnittsw. Fkt. < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:55 Mi 28.06.2006 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | gegeben: zusammgengesetzte Funktion:
[mm] h(x)=\begin{cases} 2*e^{-2/x}, & \mbox{falls } x e [-2,2] \mbox{} \\ sin h(x-4), & \mbox{falls} x e ]2,6] \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Aufgabe: Bestimmen Sie abschnittsweise analytisch die Integralfunktion
H(x) = [mm] \integral_{0}^{x}{h(x) dx}
[/mm]
im Intervall [0,6] |
mein bisheriger Lösungsansatz:
u(x) = [mm] \integral_{0}^{2}{2*e^{-x/2}dx} [/mm] = ... = [-4 * [mm] e^{-x/2}] [/mm] i. d. Grenz. 2 u. 0 = (-1,6 +4) = 2,4
v(x) = [mm] \integral_{2}^{x}{sinh(x-4)dx} [/mm] = ... [cosh(x-4)] i. d. Grenzen x und 2 = [cosh(x-4) - cosh(-2)] -> unter Angabe von cosh(-2) = 3,7 wg. Symmetrie folgt:
v(x) = [cosh(x-4) - 3,7]
Die Lösung, die ich habe lautet nun: Z(x) = u(x) + v(x) = ... cos(x-4) - 1,3
eigentlich verstäntlich, aber nun lautet die Gesamtlösung, für die Aufgabe:
[mm] H(x)=\begin{cases} u(x) & \mbox{falls } 0\le x\le2\mbox{} \\ Z(x) & \mbox{falls} 2\le x\le6 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Aber wieso lautet die Lösung für den Bereich [mm] 2\le x\le6 [/mm] nicht einfach v(x), sondern Z(x)????
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:51 Mi 28.06.2006 | | Autor: | Walde |
Hi Ralf,
vorsicht, du hast nicht ganz sauber aufgeschrieben:
> gegeben: zusammgengesetzte Funktion:
>
> [mm]h(x)=\begin{cases} 2*e^{-2/x}, & \mbox{falls } x e [-2,2] \mbox{} \\ sin h(x-4), & \mbox{falls} x e ]2,6] \mbox{} \end{cases}[/mm]
>
> Aufgabe: Bestimmen Sie abschnittsweise analytisch die
> Integralfunktion
> H(x) = [mm]\integral_{0}^{x}{h(x) dx}[/mm]
> im Intervall [0,6]
> mein bisheriger Lösungsansatz:
>
> u(x) = [mm]\integral_{0}^{2}{2*e^{-x/2}dx}[/mm] = ... = [-4 *
> [mm]e^{-x/2}][/mm] i. d. Grenz. 2 u. 0 = (-1,6 +4) = 2,4
Es muss korrekt heissen: [mm] u(x)=\integral_{0}^{x}{2*e^{-t/2}dt}. [/mm] Das Argument von u (das x) kann nicht als Integrationsvariable auftauchen (nicht als dx).
>
> v(x) = [mm]\integral_{2}^{x}{sinh(x-4)dx}[/mm] = ... [cosh(x-4)] i.
hier genauso [mm] v(x)=\integral_{2}^{x}{sinh(t-4)dt}
[/mm]
> d. Grenzen x und 2 = [cosh(x-4) - cosh(-2)] -> unter Angabe
> von cosh(-2) = 3,7 wg. Symmetrie folgt:
> v(x) = [cosh(x-4) - 3,7]
>
> Die Lösung, die ich habe lautet nun: Z(x) = u(x) + v(x) =
> ... cos(x-4) - 1,3
>
> eigentlich verstäntlich, aber nun lautet die Gesamtlösung,
> für die Aufgabe:
>
> [mm]H(x)=\begin{cases} u(x) & \mbox{falls } 0\le x\le2\mbox{} \\ Z(x) & \mbox{falls} 2\le x\le6 \mbox{} \end{cases}[/mm]
>
> Aber wieso lautet die Lösung für den Bereich [mm]2\le x\le6[/mm]
> nicht einfach v(x), sondern Z(x)????
Weil v(x) nur das Integral von 2 bis x ist (falls [mm] x\ge [/mm] 2) und H(x) das Integral von 0 bis x. Für x [mm] \ge2 [/mm] brauchst du (für H) erst den Teil von 0 bis 2(das ist u) und dann noch den Teil von 2 bis x dazu (also plus v)
Falls [mm] 0\le x\le [/mm] 2: [mm] H(x)=\integral_{0}^{x}{h(x) dx}=u(x)
[/mm]
Falls [mm] 2\le x\le [/mm] 6:
[mm] H(x)=\integral_{0}^{x}{h(x) dx}=\integral_{0}^{2}{h(x) dx}+\integral_{2}^{x}{h(x) dx}=u(2)+v(x),
[/mm]
Jetzt klar?
LG walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:55 Do 29.06.2006 | | Autor: | RalU |
Also, so ganz klar ist mir dass noch immer nicht.
Ich habe doch hier 2 Funktionen zu integrieren, die sich dann zusammen zu H(x) ergeben. Und zwar u(x) im Bereich 0 <=x<=2 und v(x) im Bereich 2 <=x<=6. Integrieren bedeutet doch eigentlich die Fläche unter der Kurve ermitteln (obwohl ich die ja in dem Fall nicht berechne). Und zwar für u(x) im Bereich 0 <=x<= 2 und für v(x) im Bereich 2 <=x<=6. Ich verstehe nicht, warum man für v(x) nochmal den Bereich 0 bis 2 mit integrieren soll. Das ist doch für u(x) schon passiert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:43 Fr 30.06.2006 | | Autor: | Walde |
Hi Ralf,
> Also, so ganz klar ist mir dass noch immer nicht.
> Ich habe doch hier 2 Funktionen zu integrieren, die sich
> dann zusammen zu H(x) ergeben. Und zwar u(x) im Bereich 0
> <=x<=2 und v(x) im Bereich 2 <=x<=6. Integrieren bedeutet
> doch eigentlich die Fläche unter der Kurve ermitteln
> (obwohl ich die ja in dem Fall nicht berechne). Und zwar
> für u(x) im Bereich 0 <=x<= 2 und für v(x) im Bereich 2
> <=x<=6. Ich verstehe nicht, warum man für v(x) nochmal den
> Bereich 0 bis 2 mit integrieren soll. Das ist doch für u(x)
> schon passiert.
du integrierst ja auch nicht für v den bereich von 0 bis 2 nochmal, sondern für H. Die Fkt. H gibt doch (quasi) den Flächeninhalt an, in Abhängigkeit von x.
Und x kann bei H von 0 bis 6 gehen. Wenn du z.B bis 4 integrierst, und dafür nur v nimmst, dann hast du doch nur von 2 bis 4 integriert (denn v integriert von 2 bis 4) und nicht von 0 bis 4. Also brauchst du das Integral noch von 0 bis 2 dazu und das ist u(2).
L G walde
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