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Hallo,
ich habe 2 Funktionen gegeben:
f(x)=0,1x³-0,6x²+x
g(x)=0,5x³-3x²+5x
f(x) gibt dabei die downloadgeschwindigkeit bei einer Internetverbindung per Modem an, wobei jedem Zeitpunkt x eine Geschwindigkeit f(x) zugeordnet wird.
g(x) gibt die Geschwindigkeit der übertragenen Daten bei einer DSL-Verbindung an.
Nun sollte ich berechnen, wie viele KBit jeweils bei den Verbindungen in 6 Sekunden heruntergeladen werden können.
Das habe ich so gemacht:
f(6)=6 und
g(6)=30
Die DSL-Verbindung ist also wesentlich schneller.
Nun soll ich überlegen, ob es noch einen weiteren Weg zu Berechnung der durch die DSL-Verbindung heruntergeladenen Datenmenge gibt und dann soll ich diese Regel für die Integraleigenschaft formulieren und beweisen.
Habe nur bei dem Teil keinen Ansatz für eine Integraleigenschaft.
Würde mich freuen, wenn ihr mir helfen könntet.
LG
Informacao
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:58 Sa 15.09.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo Informacao,
wenn Deine Gleichungen die Downloadgeschwindigkeit angeben, also eine Größe mit der Einheit kbit/sec, so musst Du wohl diese Gleichungen integrieren, und dann als obere Grenze für das Integral die 6 Sekunden einsetzen. So erhälst Du die Datenmenge innerhalb dieser 6 Sekunden.
Viele Grüße,
Infinit
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Hallo,
habe das nunmal versucht, danke für den Tipp:
Hatte die Funktion g(x)=0,5x³-3x²+5x
jetzt habe ich sie versucht zu integrieren:
[mm] \integral_{0}^{6}{g(x)=0,5x³-3x²+5x dx} =[0,125x^{4}-x³+2,5x²] [/mm]
= [mm] 0,125*6^{4}-6³+2,5*6²-0,125*0^{4}-0^{3}+2,5*0² [/mm] = 36
Nun meine fragen:
- Bei der obigen Rechnung hatte ich für die Datenmenge 30KBit/sec. raus, nun habe ich 36 raus.. habe ich einen Fehler gemacht?
- Was für eine Integraleigenschaft muss ich denn hier beweisen...also welche habe ich verwendet?
- Ist die schreibweise korrekt gewesen?
Freue mich über Hilfe!
LG
Informacao
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:33 So 16.09.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo informacao,
Deine Gleichungen, die Du gegeben hast, geben die Downloadgeschwindigkeit (Einheit Kilobit/sec) an und Du hattest einfach einen Zeitpunkt eingesetzt und hierfür die momentane Downloadgeschwindigkeit bestimmt. Du hattest nicht die Datenmenge berechnet.
Du solltest aber bestimmen, wieviel Kilobit (Einheit: Kilobit) Du inerhalb von 6 Sekunden herunterladen kannst. Das sind zwei verschiedene Größen, die über das Integral miteinander verkoppelt sind. Sobald Du eine Größe hast, die pro Zeiteinheit angegeben ist und Du integrierst über die Zeit, so erhälst Du bei Einsetzen der Integralgrenzen die "Gesamtgröße".
Ein Dir bestimmt bekanntes Beispiel aus der Physik ist die Geschwindigkeit [mm] v [/mm] eines Körpers, der in Meter / Sekunde angegeben wird. Integration über diese Größe liefert Dir die zurückgelegte Wegstrecke [mm] s [/mm] mit $$ s = [mm] \int [/mm] v dt [mm] \, [/mm] , $$ was bei einer konstanten Geschwindigkeit zu der bekannten Gleichung [mm] s = v t [/mm] führt.
Viele Grüße,
Infinit
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Hallo,
ich weiß leider nicht genau, was ich nun machen muss?
Haben mit Integralen erst diese Woche angefangen, und das ist noch Neuland für mich... Habe mir schon alles durchgelesen, was wir gemacht haben, und soweit verstanden.. und das ist nun die erste Anwendungsaufgabe..
Wie sollte ich das denn nun machen?
LG
Informacao
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:30 So 16.09.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo informacao,
mir ging es nur darum, Dir den Zusammenhang zwischen Deinen Gleichungen und der gesuchten Größe klarzumachen. Die Integration ist eine Grenzwertbetrachtung der Summation (ich nehme an, ihr habt auf diese Weise die Integralrechnung eingeführt) und um mehr geht es hier erst mal nicht. Den Zusammenhang für Deine Aufgabe habe ich in meiner letzten Antwort beschrieben.
Zur Schreibweise: An das Ergebnis schreibt man häufig noch die Ober- und die Untergrenze
$$ [mm] \integral_{0}^{6}{g(x)=0,5x³-3x²+5x dx} =[0,125x^{4}-x³+2,5x²]\left|^{6}_{0}$$ und dann kommt die Zeile, in der man die Werte einsetzt.
Mir ist nicht ganz klar, was Dir unklar ist, aber vielleicht kommen wir ja noch gemeinsam drauf. Liegt wahrscheinlich einfach auch daran, dass ich nicht genau weiss, wie ihr die Integralrechnung begonnen habt.
Viele Grüße,
Infinit
[/mm]
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Hallo & Danke für die Tipps,
integrieren haben wir damit begonnen, dass wir versuchen sollten, den Flächeninhalt unter einer Parabel zu bestimmen. Dann haben wir viele Rechtecke gebildet, diesen Flächeninhalt dann aufsummiert. Und das haben wir durch die Grenzwertbetrachtung von Ober-und Untersumme gemacht. Diese stimmten ja dann überein, und wir konnten den Flächeninhalt bestimmen.
Nun ja, jetzt soll ich also die Datenmenge suchen. Aber es ist doch richtig, g(6) auszurechnen, dann weiß ich doch, wie die Datenmenge nach dieser Zeit t=6 sekunden ist, oder?
Jetzt zum Integieren: Danke, jetzt weiß ich das mit der Schreibweise auch- Aber wenn ich die 6 nun als obere Grenze einsetze, komme ich auf 36. Was sagt es mir dann? Gibt das schon die Datenmenge an?
Und wie verfahre ich weiter-- also mit Beweis dieser Integraleigenschaft. Dazu müsste ich wissen, welche Eigenschaft das war. Aber im Moment fehlt mir da noch die Idee...
Danke für die Hilfe,
LG
Informacao
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:01 So 16.09.2007 | | Autor: | Infinit |
Halllo Informacao,
ja, dann lief die Einführung so wie ich das mir gedacht hatte. War bei mir vor 33 Jahren auch der Fall. Du unterscheidest aber noch nicht richtig zwischen der Kurve, über die integriert wird und dem Ergebnis. g(6) ist nicht die Datenmenge, sondern die aktuelle Geschwindigkeit, denn diese Gleichung gibt Dir ja die Downloadgeschwindigkeit an. Die Fläche unter dieser Kurve zwischen 0 und 6 Sekunden ist die Datenmenge, die in 6 Sekunden übertragen wird.
Vielleicht hilft Dir das Beispiel von der Parabel weiter. Die wird beschrieben durch
$$ y(x) = [mm] x^2 [/mm] $$ und die behauptest (hoffentlich) ja auch nicht, dass y(2)= 4 die Fläche unter der Parabel ist. Diese ist, wenn ich mal bei 0 anfange,
$$ F = [mm] \int_0^2 x^2 [/mm] dx = [mm] \bruch{x^3}{3} |^{2}_{0} [/mm] = [mm] \bruch{8}{3} [/mm] $$
Siehst Du den Unterschied und wichtiger noch, versteht Du ihn auch?
Was den Zusammenhang zwischen den Daten angeht: Schaue Dir mal die Gleichungen für f(x) und g(x) an, da liegt ein Faktor von Fünf dazwischen. Es genügt also, nur über f(x) zu integrieren und dann das Ergebnis mal Fünf zu nehmen, um auf die Datenmenge der DSL-Leitung zu kommen.
Viele Grüße,
Infinit
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:10 So 16.09.2007 | | Autor: | Informacao |
Hallo,
danke, das habe ich jetzt sehr verstanden! Ich versuche das jetzt mal anzuwenden (muss gleich auch mal weg). Ich melde mich nachher, spätestens wenn es darum geht, diese Eigenschaft (?) zu beweisen.. 
Und das mit dem Faktor 5 muss ich mir auch noch mal anschauen...
Lg
Informacao
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:19 So 16.09.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo informacao,
auch ich muss nachher weg. Die Eigenschaft, die Du für die Berechnung der DSL-Datenmenge ausnutzen kannst, ist die, dass ein konstanter Faktor vor das Integral gezogen werden darf und es deswegen nicht nötig ist, über die Gleichung g(x) getrennt zu integrieren, da g(x) = 5 f(x).
Viel Erfolg,
Infinit
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Hallo,
also bin mittlerweile hier angelangt:
Ich habe die Funktionen f(x) und g(x) miteinander verglichen und dann -wie du schon geschrieben hast- festgestellt, dass gilt: 5*f(x)=g(x).
Vermutung für die Integraleigenschaft: Ein konstanter Faktor kann vor das Integral gezogen werden, demnach würde ich erhalten:
[mm] \integral_{0}^{6}5{f(x) dx} =\integral_{0}^{6}{g(x) dx}
[/mm]
Also, erhalte ich, wenn ich einsetze:
[mm] \integral_{0}^{6}5{0,1x³-0,6x²+x dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{6}{0,5x³-3x²+5x dx}
[/mm]
Frage: Stimmt die Schreibweise? Wie gehe ich nun weiter vor? Muss ich wieder integrieren (bin mir wegen der Schreibweise immer so unsicher).
Lg
Informacao
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:06 So 16.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Zu den Integraleigenschaften.
1, Wenn die Geschwindigkeit v konstant ist, ist die DatenMenge M=Geschwindigkeit*Zeit.
2. Wenn v nicht konstant ist, muss man die Zeit in kleine Schritte unterteilen, etwa te/n, in denen v beinahe konstant ist, und in den kleinen Zeitabschnitten [mm] \Delta [/mm] t=te/n dann mit den entsprechenden Geschw. multiplizieren und alles zusammen addieren.
Das ist genau dasselbe Verfahren, das ihr für den Flächeninhalt unter der Kurve verwendet habt. wenn du v(t) (dein f(x)) als graph aufträgst, sind das alle die Rechtecke, die ihr bei einführung des Integrals hattet. Nur jetz ist "Länge"*"Breite" des Rechtecks kein Flächeninhalt mehr, sondern ne Datenmenge.
Wenn du die Zeitabschnitte immer kleiner machst kommst du dann zum Grenzwert, also dem Integral statt der Summe.
Wenn jede Stufe 5 mal so hoch ist, und du sonst die gleiche Unterteilung wählst, ist die "Fläche" von jedem einzelnen Rechteck 5 mal so groß, also auch die Summe aller Rechtecke, egal wie schmal sie sind, also auch das Integral.
jetz zur Schreibweise: du hast Klammern vergessen!
> Ich habe die Funktionen f(x) und g(x) miteinander
> verglichen und dann -wie du schon geschrieben hast-
> festgestellt, dass gilt: 5*f(x)=g(x).
> Vermutung für die Integraleigenschaft: Ein konstanter
> Faktor kann vor das Integral gezogen werden, demnach würde
> ich erhalten:
>
> [mm]\integral_{0}^{6}5{f(x) dx} =\integral_{0}^{6}{g(x) dx}[/mm]
>
> Also, erhalte ich, wenn ich einsetze:
>
> [mm]\integral_{0}^{6}5{0,1x³-0,6x²+x dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{6}{0,5x³-3x²+5x dx}[/mm]
>
richtig:
[mm]\integral_{0}^{6}{5*(0,1x³-0,6x²+x) dx}[/mm] = [mm]5*\integral_{0}^{6}{(0,1x³-0,6x²+x) dx}[/mm]
und da du das Integral ja schon ausgerechnet hast jetz nur *5. falls du das 2te ausgerechnet hast durch 5 teilen!
Du benutzt ja schon beim integieren das Integral über [mm] 0,1x^2
[/mm]
0,1 mal so groß ist wie über [mm] x^2
[/mm]
das brauchst du dann nicht noch einzeln machen.
Gruss leduart
> [mm]\integral_{0}^{6}{0,5x³-3x²+5x dx}[/mm]
> Frage: Stimmt die Schreibweise? Wie gehe ich nun weiter
> vor? Muss ich wieder integrieren (bin mir wegen der
> Schreibweise immer so unsicher).
> Lg
>
> Informacao
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Hi,
aber woher weiß ich denn, dass das gilt:
$ [mm] \integral_{0}^{6}{5\cdot{}(0,1x³-0,6x²+x) dx} [/mm] $ = $ [mm] 5\cdot{}\integral_{0}^{6}{(0,1x³-0,6x²+x) dx} [/mm] $
Also wo ist denn da der Zusammenhang zur Aufgabe? Ich soll ja nur die Aufgabe lösen: "Überlege, ob es einen weiterern Weg zur Berechnung der durch die DSL Verbindung herunter geladenen Datenmenge gibt."
Und DARAUF soll sich auch die dann verwendete Integraleigenschaft beziehen...
Hm das wird die dann mit dem Faktor sein...
Ich verstehe nicht, wie man von der Aufgabe auf das da oben kommt...
LG
Informacao
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:48 So 16.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Hi,
>
> aber woher weiß ich denn, dass das gilt:
>
> [mm]\integral_{0}^{6}{5\cdot{}(0,1x³-0,6x²+x) dx}[/mm] =
> [mm]5\cdot{}\integral_{0}^{6}{(0,1x³-0,6x²+x) dx}[/mm]
Ich dachte genau das hatte ich dir mit den überall fünfmal so langen bzw. hohen Treppenstufen erklärt.
Ausserdem wenn du in jedem Moment 5 mal so schnell fährst wie jemand anders, hast du doch am Ende auch 5 mal soviel Weg zurückgelegt?!
Dein einer Weg ist ja wohl beide Integrale einfach auszurechnen. Der zweite ist dann genau die Eigenschaft des Integrals, dass man konstante Faktoren rausziehen kann.
Also musst du nur eins ausrechnen und das Ergebnis mit 5 multipl.
Den Beweis hab ich dir gesagt. dass du also direkt sagen kannst die DSL Verbindung liefert in jeder Zeit 5 mal so viel Daten. (Falls diese komischen Funktionen gälten! die sagen nämlich für sehr große Zeiten wird die Übertragungsgeschwindigkeit unendlich. während die Realität ne Funktion brauchte, die am Anfang zwar schneller wird, dann aber etwa konstant ist!
nach einer Stunde hätte das DSLModem mehr als [mm] 10^7 [/mm] Gb übertragen also [mm] 10^4 [/mm] Computer mit ner Festplatte von 100Gb zugemüllt!! - nur ne nebenbemerkung, weil ich mich über Lehrer ärgere, die so unglaublich falsche Modelle anbieten!)
Gruss leduart.
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Ah, danke leduart!
Jetzt verstehe ich das erst richtig.
Ja, das stimmt, würde mich auch aufregen...
Ich möchte jetzt versuchen, das was ich jetzt "herausgefunden" habe, allgemeingültig zu beweisen.
Hier mein Ansatz:
[mm] k*\integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}k*({f(x) dx})
[/mm]
Ich weíß aber allerdings garnicht, wie man einen Beweis durchführt... habe etwas von Beweis durch Widerspruch, Beweis durch Belegen gehört... weiß aber nichts genaues darüber.. möchte auch nicht einfach in ein Mathebuch schauen, sondern lieber selbst verstehen..
Könnte mir jemand helfen?
LG
Informacao
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:46 So 16.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das Integral ist definiert als Grenzwert der ober oder Untersummen
$ [mm] f(xa)*\Delta x+f(xa+\Delta [/mm] x
[mm] *\Delta x+.....f(xa+(n-1)*\Delta [/mm] x) $ mit [mm] \Deltax=(xe-xa)/n
[/mm]
Das ist etwa die Untersumme.
wenn du überall statt f(x) 5*f(x) hinschreibst kannst du nach den normalen Rechengesetzen die 5 ausklammern und hast dann
$5*[ [mm] f(xa)*\Delta x+f(xa+\Delta [/mm] x
[mm] *\Delta x+.....f(xa+(n-1)*\Delta [/mm] x)]$
Wenn du jetzz den Grenzwert für n gegen [mm] \infty [/mm] bildest, bleibt die 5 davon unberührt.
Damit ist deine Behauptung bewiesen!
(Ihr müsst das auch schon benutzt haben , denn meist leitet man ja nur die Fläche unter [mm] x^2 [/mm] her, und [mm] 0,5x^2 [/mm] hat dann über dasselbe Stück integriert eben 0,5 mal den flächeninhalt usw.
(sonst könntest du doch wenn du [mm] x^2 [/mm] integrieren kannst nicht auch [mm] 5x^2, 0,1x^2 [/mm] usw. integrieren!
Gruss leduart
Gruss leduart.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:54 So 16.09.2007 | | Autor: | Informacao |
Hi,
hm, ich versuch das mal so mit dem Beweis... Ist es richtig, dass man das auch mit der Stammfunktion beweisen kann?
Doch, wir haben noch nicht bewiesen, weil wir immer über die Aufleitung integriert haben..
lg
Informacao
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Hallo,
ich entschuldige mich schon im Vorraus, dafür dass ich jetzt darum bitte, dass mir vielleicht jemand mal den Beweis vollständig aufschreiben könnte.
War bzw. bin heute krank, habe das immer noch nicht hinbekommen und hänge dazu noch an einer ähnlichen aufgabe, wo mir auch noch kein Ansatz gekommen ist.
Ich würde mich über Hilfe freuen.
LG
Informacao
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:37 Mo 17.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Was an meinem Beweis kapierst du nicht? Ihr habt doch integrale als Grenzwert von Summen über "Treppenfunktionen" beschrieben?
2. Bemerkung, nachdem ihr [mm] x^2 [/mm] integrieren konntet, wie seid ihr dann auf Integral [mm] ax^2 [/mm] gekommen?
Aufschreiben musst dus doch eh, also machs hier und wir korrigieren.
Um sicher zu gehen du willst beweisen dass :
[mm] \integral_{a}^{b}{c*f(x) dx}=c*(\integral_{a}^{b}{f(x) dx})
[/mm]
Das kurze Argument ist: Integral ist ne Summe, Aus Summen kann man ausklammern.
Gruss leduart
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Keine Ahnung, mir fehlt komplett der Ansatz für so einen Beweis, und ich sitze schon seit Freitag daran und langsam... will ich das mal hinkriegen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:08 Mo 17.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hatte doch den Beweis geschrieben hier
Was daran ist denn unklar?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:21 Mo 17.09.2007 | | Autor: | Informacao |
danke, ich glaub ich habs hinbekommen :)
Muss noch mal nachrechnen, aber ich denke, es müsste klappen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:24 Mo 17.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Da ist wirklich nix zum rechnen, nur 5 aus ner Summe ausklammern!
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:48 Mo 17.09.2007 | | Autor: | Informacao |
stimmt :)
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