Integrale berechnen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:22 So 27.04.2008 | | Autor: | Toni908 |
| Aufgabe | berechnen sie folgende Integrale:
[mm] a)\integral_{}^{}{\bruch{1}{coshx} dx}
[/mm]
[mm] b)\integral_{0}^{1}{\wurzel{1-x²} dx}
[/mm]
[mm] c)\integral_{a}^{b}{\wurzel{tanx} dx} [/mm] |
Hallo,
also bei a) müsste ich die Substitutionsregel anwenden oder? Welchen anfang könnte ich da nehmen?
[mm] b)\integral_{0}^{1}{(1-x²)^{1/2} dx}=\integral_{0}^{1}{1/2x*2/3(1-x²)^{3/2}=[(1/2*2/3)-0]}=1/3
[/mm]
c)hier fällt mir nichts weiter ein.
LG Toni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:26 So 27.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Toni!
Was hast Du denn hier gerechnet? Verwende partielle Integration:
[mm] $$\integral{\wurzel{1-x^2} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\red{1}*\wurzel{1-x^2} \ dx}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:54 So 27.04.2008 | | Autor: | Toni908 |
Hallo,
ich weis nicht ob ich das hier überhaupt richtig gemacht habe:
f(x)->F(x)
[mm] (1-x²)^{\bruch{1}{2}}=\bruch{1}{2}x*\bruch{2}{3}*(1-x²)^{\bruch{3}{2}}
[/mm]
[mm] \integral_{a}^{b}{u(x)*v(x) dx} =[u(x)-V(x)]-\integral_{a}^{b}{u'(x)*V(x) dx}
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{1}{1*(1-x²)^{\bruch{1}{2}} dx}=(1*(\bruch{1}{2}(1)*\bruch{2}{3}*(1-(1)²)^{\bruch{3}{2}})-(1*\bruch{1}{2}(0)*\bruch{2}{3}*(1-(0)²)^{\bruch{3}{2}})-\integral_{a}^{b}{u'(x)*V(x) dx}
[/mm]
[mm] \integral_{a}^{b}{u'(x)*V(x) dx}=\integral_{0}^{1}{ \bruch{1}{2}x*\bruch{2}{3}*(1-x²)^{\bruch{3}{2}}}=1/3
[/mm]
so wie ich es oben schon gemacht habe
dann zusammengefasst: 1/3-1/3=0
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:25 So 27.04.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Wenn du bei der partiellen Integration folgendes wählst, wirds sehr einfach.
[mm] \integral_{a}^{b}{u(x)\cdot{}v(x)dx}=[u(x)-V(x)]-\integral_{a}^{b}{u'(x)\cdot{}V(x)dx}
[/mm]
Also hier:
[mm] \integral_{0}^{1}\underbrace{1}_{u}*\underbrace{\wurzel{1-x²}}_{v'}
[/mm]
=...
Oder alternativ:
[mm] \integral_{0}^{1}\underbrace{1}_{v'}*\underbrace{\wurzel{1-x²}}_{u}
[/mm]
=...
Einer der Wege führt relativ gut zum Ziel.
P.S: Hier mal die Skizze, daran erkennst du, dass das Integral nicht Null
ergibt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:39 Di 29.04.2008 | | Autor: | patsch |
zu b)
Ich komme mit Hilfe der partiellen Integration nicht zur Lösung. Ich habe es auch schon mit der der Substitutionsregel versucht, in dem ich x=cosh x gesetzt habe, aber auch damit habe ich kein erfolg.
mfg patsch
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b) mit partieller Integration:
[mm]\integral{\wurzel{1-x^{2}} dx}[/mm]
[mm]= \integral_{0}^{1}{\underbrace{1}_{u'}*\underbrace{\wurzel{1-x^{2}}}_{v} dx}[/mm]
[mm]= \underbrace{x}_{u}*\underbrace{\wurzel{1-x^{2}}}_{v} - \integral{\underbrace{x}_{u} * \underbrace{\bruch{1}{2*\wurzel{1-x^{2}}}*(-2x)}_{v'} dx}[/mm]
[mm]= x*\wurzel{1-x^{2}} + \integral{\bruch{x^{2}}{\wurzel{1-x^{2}}} dx}[/mm]
Der "Trick":
[mm]= x*\wurzel{1-x^{2}} + \integral{\bruch{1}{\wurzel{1-x^{2}}} - \bruch{1-x^{2}}{\wurzel{1-x^{2}}} dx}[/mm]
[mm]= x*\wurzel{1-x^{2}} + \integral{\bruch{1}{\wurzel{1-x^{2}}} - \wurzel{1-x^{2}} dx}[/mm]
[mm]= x*\wurzel{1-x^{2}} + \integral{\bruch{1}{\wurzel{1-x^{2}}} dx}- \integral{\wurzel{1-x^{2}} dx}[/mm]
Nun betrachtet man die gesamte partielle Integration als Gleichung und addiert auf beiden Seiten [mm] \integral{\wurzel{1-x^{2}} dx}:
[/mm]
[mm]\integral{\wurzel{1-x^{2}} dx} = x*\wurzel{1-x^{2}} + \integral{\bruch{1}{\wurzel{1-x^{2}}} dx}- \integral{\wurzel{1-x^{2}} dx}[/mm]
[mm]\gdw 2*\integral{\wurzel{1-x^{2}} dx} = x*\wurzel{1-x^{2}} + \integral{\bruch{1}{\wurzel{1-x^{2}}} dx}[/mm]
[mm]\gdw \integral{\wurzel{1-x^{2}} dx} = \bruch{1}{2}*x*\wurzel{1-x^{2}} + \bruch{1}{2}*\integral{\bruch{1}{\wurzel{1-x^{2}}} dx}[/mm]
Bekanntermaßen ist
[mm]\integral{\bruch{1}{\wurzel{1-x^{2}}} dx} = \arcsin(x)[/mm], man erhält:
[mm]\gdw \integral{\wurzel{1-x^{2}} dx} = \bruch{1}{2}*x*\wurzel{1-x^{2}} + \bruch{1}{2}*\arcsin(x)[/mm].
Falls du b) mit Substitution probieren möchtest, solltest du [mm]x = \sin(u) \gdw u = \arcsin(x)[/mm] ausprobieren.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:30 So 27.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Toni!
Wende die Definition von [mm] $\cosh(x) [/mm] \ := \ [mm] \bruch{1}{2}*\left(e^x+e^{-x}\right)$ [/mm] an und substituiere anschließend $z \ := \ [mm] e^x$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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Hallo Toni908,
> berechnen sie folgende Integrale:
>
> [mm]a)\integral_{}^{}{\bruch{1}{coshx} dx}[/mm]
>
> [mm]b)\integral_{0}^{1}{\wurzel{1-x²} dx}[/mm]
>
> [mm]c)\integral_{a}^{b}{\wurzel{tanx} dx}[/mm]
> Hallo,
>
> also bei a) müsste ich die Substitutionsregel anwenden
> oder? Welchen anfang könnte ich da nehmen?
>
> [mm]b)\integral_{0}^{1}{(1-x²)^{1/2} dx}=\integral_{0}^{1}{1/2x*2/3(1-x²)^{3/2}=[(1/2*2/3)-0]}=1/3[/mm]
>
> c)hier fällt mir nichts weiter ein.
Verwende hier die Substitution [mm]z^{2}=\tan\left(x\right)[/mm]
Dann wird [mm]2z \ dz= 1+\tan^{2}\left(x\right) \ dx = 1+z^{4} \ dx[/mm]
[mm]\Rightarrow dx = \bruch{2z}{1+z^{4}} \ dz[/mm]
Für die dann anstehende Partialbruchzerlegung verwende dann:
[mm]1+z^{4}=\left(z^{2}+az+1\right)*\left(z^{2}-az+1\right)[/mm]
>
> LG Toni
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:27 Di 29.04.2008 | | Autor: | patsch |
Danke erstmal für die schnelle und ausführliche Anwort zur Aufg. b.
zu c)
Gibt es hier einen anderen Weg um diese Funktion zu integrieren, da ich mit der Partialbruchzerlegung nicht zurecht komme.
mfg patsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:57 Di 29.04.2008 | | Autor: | patsch |
Die Partialbruchzerlegung an und für sich kann ich ja, aber bei dieser Aufgabe komme ich nicht klar, da die Nullstellen des Nennerpolynoms doch komplexe Zahlen sind. Gibt es wirklich keinen kürzeren Weg?
mfg patsch
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Hallo patsch,
> Die Partialbruchzerlegung an und für sich kann ich ja, aber
> bei dieser Aufgabe komme ich nicht klar, da die Nullstellen
> des Nennerpolynoms doch komplexe Zahlen sind. Gibt es
> wirklich keinen kürzeren Weg?
Ich fürchte nein.
Bestimme erstmal ein a, so daß gilt:
[mm]1+z^{4}=\left(z^{2}-az+1\right)*\left(z^{2}+az+1\right)[/mm]
Zerlege dann wie folgt:
[mm]\bruch{2z^{2}}{1+z^{4}}=\bruch{Az+B}{z^{2}-az+1}+\bruch{Cz+D}{z^{2}+az+1}[/mm]
Mit noch unbekannten Koeffienten A, B, C und D.
Diese unbekannten Koeffizienten bekommst Du durch einen ![[]](/images/popup.gif) Koeffizientenvergleich heraus.
>
> mfg patsch
Gruß
MathePower
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