Integrale - Quadraturformel < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:29 So 11.01.2009 | | Autor: | Roxy2008 |
| Aufgabe | Leiten Sie eine Quadraturformel für Integrale der Form
[mm] \bruch{1}{\wurzel{2\pi}}\integral_{-\infty}^{\infty}{f(x)* e^{\bruch{-x^{2}}{2}} dx}
[/mm]
her, indem Sie zunächst die Funktion f in den Knoten -1, 0, 1 interpolieren
und dann das obige Integral für das erhaltene quadratische Interpolationspolynom exakt ausrechnen. Wenden Sie die ermittelte Quadraturformel auf die Funktion
f(x) = [mm] x^{4} [/mm] an und vergleichen Sie den Näherungswert mit dem exakten Integralwert.
Hinweis:
Alle auftretenden Integrale können mittels partieller Integration und unter
Ausnutzung von:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{2\pi}}\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{\bruch{-x^{2}}{2}} dx} [/mm] = 1
berechnet werden, |
Hi :)
Habe ein Problem mit der oben genannten Aufgabe. Kann mir da jemand helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Grüße, Roxy
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Du sollst annehmen, dass f(-1)=r, f(0)=s und f(1)=t ist. Nun suchst du eine Parabel 2. Grades [mm] g(x)=ax^2+bx+c, [/mm] die ebenfalls durch diese Punkte geht, also mit g(-1)=r, g(0)=s und g(1)=t. Daraus bestimmst du a, b und c.
Statt nun $ [mm] \bruch{1}{\wurzel{2\pi}}\integral_{-\infty}^{\infty}{f(x)\cdot{} e^{\bruch{-x^{2}}{2}} dx} [/mm] $ zu berechnen, berechnest du $ [mm] \bruch{1}{\wurzel{2\pi}}\integral_{-\infty}^{\infty}{g(x)\cdot{} e^{\bruch{-x^{2}}{2}} dx} [/mm] $.
Als Beispiel machst du das nun mit [mm] f(x)=x^4. [/mm] Du erhältst [mm] g(x)=x^2 [/mm] und vergleichst nun beide Ergebnisse, indem du $ [mm] \bruch{1}{\wurzel{2\pi}}\integral_{-\infty}^{\infty}{x^4\cdot{} e^{\bruch{-x^{2}}{2}} dx} [/mm] $ sowie $ [mm] \bruch{1}{\wurzel{2\pi}}\integral_{-\infty}^{\infty}{x^2\cdot{} e^{\bruch{-x^{2}}{2}} dx} [/mm] $ exakt berechnest (part. Integration) und die Ergebnisse vergleichst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:43 So 11.01.2009 | | Autor: | Roxy2008 |
Dankeschön, hat mir schon einmal weitergeholfen. Allerdings verstehe ich noch nicht, wie ich die Parabel genau bestimmen kann, vielleicht kannst du mir da noch weiterhelfen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:00 Mo 12.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
weisst du wirklich nicht, wie man ne Parabel berechnet ,die durch 3 Punkte geht ?
du hast doch die 3 Unbkannten a,b,c und 3 Gleichungen, wenn du die Punkte einsetzt!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 Mo 12.01.2009 | | Autor: | Roxy2008 |
Also:
f(-1)= r
f(0)=s
f(1)=t
mit g(x)= [mm] ax^2+bx+c
[/mm]
g(-1)=a-b+c
g(0)=c
g(1)=a+b+c
g(-1)=r
g(0)=s
g(1)=t
daraus folgt:
r=a-b+c
s=c
t=a+b+c
und wie gehts jetzt weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:58 Mo 12.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du rechnest a,b,c aus r,s,t aus!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:00 Mo 12.01.2009 | | Autor: | Roxy2008 |
Habe das jetzt in die Funktion [mm] f(x)=x^4 [/mm] eingesetzt und diese gleich r,s,t gesetzt
f(-1)=1=r ---> g(-1)=1
f(0)=0=s ---> g(0)=0
f(1)=1=t ---> g(1)=1
Dann habe ich ein Gleichungssystem aufgestellt wodurch ich a=1, b=0 und c=0 erhalte, somit ist [mm] g(x)=x^2
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 Mo 12.01.2009 | | Autor: | Roxy2008 |
Wie geht das jetzt weiter?
f(x) und g(x) in die Integrale einsetzen. Da kann ich dann etwas rausziehen (Hinweis in der Aufgabenstellung) und hab nur noch die Integrale:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{f(x) dx}=\integral_{-\infty}^{\infty}{x^4 dx}
[/mm]
und
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{g(x) dx}=\integral_{-\infty}^{\infty}{x^2 dx}
[/mm]
daraus folgt:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{x^4 dx} [/mm] = [mm] [\bruch{x^{5}}{5}] [/mm] von [mm] -\infty [/mm] bis [mm] +\infty
[/mm]
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{x^2 dx} [/mm] = [mm] [\bruch{x^{3}}{3}] [/mm] von [mm] -\infty [/mm] bis [mm] +\infty
[/mm]
Wie kann ich das genau ausrechnen?
Und wie komme ich an das "quadratische Interpolationspolynom " und "ermittelte Quadraturformel"??
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Nein, das Ganze ist anders gemeint. Du sollst ja
$ [mm] \bruch{1}{\wurzel{2\pi}}\integral_{-\infty}^{\infty}{f(x)\cdot{} e^{\bruch{-x^{2}}{2}} dx} [/mm] $ berechnen.
Dabei geht man davon aus, dass f(x) so kompliziert ist, dass eine Berechnung furchtbar aufwändig wäre. Deshalb sollst du f generell durch eine Quadratische Funktion g ersetzen in der Hoffnung, dass 1. das Integrieren nun viel einfacher ist und 2. der Fehler nicht zu groß ist.
In deinem Fall sollst du nun $ [mm] \bruch{1}{\wurzel{2\pi}}\integral_{-\infty}^{\infty}{x^2\cdot{} e^{\bruch{-x^{2}}{2}} dx} [/mm] $ ersatzweise für $ [mm] \bruch{1}{\wurzel{2\pi}}\integral_{-\infty}^{\infty}{x^4\cdot{} e^{\bruch{-x^{2}}{2}} dx} [/mm] $ berechnen und offenbar das letzte Integral auch noch, um für diesen Spezialfall mal zu sehen, wie groß der Fehler ist (und natürlich auch, um das Integrieren zu üben).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:26 Do 15.01.2009 | | Autor: | Roxy2008 |
Leider verstehe ich das immer noch nicht, was ich genau machen soll oder besser gesagt wie ich das genau machen soll.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:30 Do 15.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
1, du sollst das Integral
[mm] \integral_{a}^{b}{x^2e^{-x^2/2} dx} [/mm] durch partielle Integration lösen und [mm] a=-\infty b=+\infty [/mm] den GW bilden.
dabei ist dir bekannt
[mm] \integral_{-\infty}^{+\infty}{e^{-x^2/2} dx}
[/mm]
Um den Fehler zu sehen dann noch mit derselben Methode:
[mm] \integral_{a}^{b}{x^4e^{-x^2/2} dx}
[/mm]
part. Integration [mm] u'=e^{-x^2/2} v=x^2 [/mm] bzw [mm] x^4.
[/mm]
Lies doch nochmal die Aufgabe durch, damit du Textverständnis lernst. Das steht da nämlich schon alles
Gruss leduart
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