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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:59 Sa 23.01.2010 | | Autor: | anna_h |
| Aufgabe | | Zu lösen ist folgendes Integral: [mm] \integral_{0}^{\lambda_{0}}{\integral_{z_{1}}^{z_{1}+3\lambda_{0}/4}{-\omega\epsilon_{0}|E_{x}|sin(\omega t + \pi/4 - \beta z ) dz} dy} [/mm] |
Ich kenne die Lösung kann sie aber nicht nachvollziehen:
[mm] =-\omega\lambda_{0}\epsilon_{0}|E_{x}| \integral_{z_{1}}^{z_{1}+3\lambda_{0}/4}{sin(\omega t + \pi/4 - \beta z ) dz} [/mm]
[mm] =-\omega\lambda_{0}\epsilon_{0}|E_{x}| \{1/\beta cos(\omega t + \pi/4 - \beta z ) \}_{z_{1}}^{z_{1}+3\lambda_{0}/4}
[/mm]
[mm] =-f\lambda_{0}^{2}\epsilon_{0}|E_{x}|cos(\omega [/mm] t - [mm] 5\pi/4)-cos(\omega [/mm] t - [mm] \pi/4)
[/mm]
[mm] =2f\lambda_{0}^{2}\epsilon_{0}|E_{x}|cos(\omega [/mm] t)
Hier geht es um die berechnung des Durchflutungsgesetzes. Leider Blicke ich nicht durch. Bei mir kämme schon bei der sin und cosinus ein minus dazu. Kann mir jemand die integrale erklären. Wäre echt super.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:29 Sa 23.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Zu lösen ist folgendes Integral:
> [mm]\integral_{0}^{\lambda_{0}}{\integral_{z_{1}}^{z_{1}+3\lambda_{0}/4}{-\omega\epsilon_{0}|E_{x}|sin(\omega t + \pi/4 - \beta z ) dz} dy}[/mm]
Wenn ich das richtig verstehe, ist [mm] $\beta [/mm] = [mm] \bruch{2\pi}{\lambda_0}$, [/mm] nicht wahr?
Was ist [mm] $z_1$?
[/mm]
> Ich kenne die Lösung kann sie aber nicht nachvollziehen:
>
> [mm]=-\omega\lambda_{0}\epsilon_{0}|E_{x}| \integral_{z_{1}}^{z_{1}+3\lambda_{0}/4}{sin(\omega t + \pi/4 - \beta z ) dz}[/mm]
Hier wurden die Konstanten [mm] $-\omega\epsilon_{0}|E_{x}|$ [/mm] vor das Integral gezogen und dann die Integration über $y$ ausgeführt. Da der Integrand nicht von $y$ abhängt, gibt das einen Faktor [mm] $\lambda_{0}$.
[/mm]
>
> [mm]=-\omega\lambda_{0}\epsilon_{0}|E_{x}| \{1/\beta cos(\omega t + \pi/4 - \beta z ) \}_{z_{1}}^{z_{1}+3\lambda_{0}/4}[/mm]
Bei der Integration hebt sich das Minuszeichen vor dem Cosinus gegen das Minuszeichen von [mm] $-\beta$ [/mm] weg:
[mm] -\omega\lambda_{0}\epsilon_{0}|E_{x}| \bruch{1}{-\beta} \Bigl[-\cos(\omega t + \pi/4 - \beta z ))\Bigr]_{z_{1}}^{z_{1}+3\lambda_{0}/4} = -\omega\lambda_{0}\epsilon_{0}|E_{x}| \bruch{1}{\beta} \Bigl[\cos(\omega t + \pi/4 - \beta z ))\Bigr]_{z_{1}}^{z_{1}+3\lambda_{0}/4} [/mm]
> [mm]=-f\lambda_{0}^{2}\epsilon_{0}|E_{x}|cos(\omega t - 5\pi/4)-cos(\omega t - \pi/4)[/mm]
Hier wurde [mm] $\beta=\bruch{2\pi}{\lambda_0}$ [/mm] eingesetzt. Mir ist auch nicht klar, wo der Term [mm] $-\beta z_1$ [/mm] hingekommen ist. Ich bekomme zunächst
[mm] -f\lambda_{0}^{2}\epsilon_{0}|E_{x}| [\cos(\omega t + 5\pi/4 -\beta z_1) - cos (\omega t - \pi/4 -\beta z_1)] [/mm]
und wenn ich das mittels Additionstheoremen zusammenfasse, habe ich
[mm] = \sqrt{2} f\lambda_{0}^{2}\epsilon_{0}|E_{x}| \cos(\omega t-\beta z_1) [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 Sa 23.01.2010 | | Autor: | anna_h |
1000000000000000000000000 Dank für deine Hilfe.
Leider sind mir zwei sachen immer noch nicht klar.
"Da der Integrand nicht von y abhängt, gibt das einen Faktor [mm] \lambda_{0}."
[/mm]
Kannst du das nochmal genauer erklären.
Was genau [mm] z_{1} [/mm] is weiß ich auch nicht. Es handelt sich um eine Hochfrequenzaufgabe.
Die orginal Aufgabenstellung lautet:
untersuchen Sie das feld einer homogenen ebenenen Welle, die sich im freien Raum in +z Richtung ausbreitet. In der Ebenen z = [mm] z_{1} [/mm] herrscht zum Zeitpunkt t die elektrische Feldstärke [mm] e(z_{1},t)= \pmat{ |E_{x}|cos(\omega t + \pi /4) \\ 0 \\ 0 }
[/mm]
Teilaufgabe d: Gegeben ist eine rechteckige Fläche in yz-Ebene (x=0) mit den Eckpunkten
[mm] A(0;0;z_{1}) [/mm]
[mm] B(0;0;z_{2}) [/mm]
[mm] C(0;\lambda_{0};z_{2}) [/mm]
[mm] D(0;\lambda_{0};z_{1})
[/mm]
Welcher zeitabhängige Verschiebungsstrom fließt durch diese Fläche?
[mm] z_{2} [/mm] = [mm] z_{1} [/mm] + [mm] \bruch{3\lambda_{0}}{4}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:00 So 24.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> 1000000000000000000000000 Dank für deine Hilfe.
> Leider sind mir zwei sachen immer noch nicht klar.
>
> "Da der Integrand nicht von y abhängt, gibt das einen
> Faktor [mm]\lambda_{0}."[/mm]
>
> Kannst du das nochmal genauer erklären.
Der Integrand hängt nicht von y ab, also kannst du ihn vor das Integral über y ziehen. Dann bleibt als Integration über y nur noch
[mm] \integral_{0}^{\lambda_0} 1 * dy = y \Bigr|_{0}^{\lambda_0} = \lambda_0 [/mm]
übrig.
> Was genau [mm]z_{1}[/mm] is weiß ich auch nicht. Es handelt sich um
> eine Hochfrequenzaufgabe.
> Die orginal Aufgabenstellung lautet:
>
> untersuchen Sie das feld einer homogenen ebenenen Welle,
> die sich im freien Raum in +z Richtung ausbreitet. In der
> Ebenen z = [mm]z_{1}[/mm] herrscht zum Zeitpunkt t die elektrische
> Feldstärke [mm]e(z_{1},t)= \pmat{ |E_{x}|cos(\omega t + \pi /4) \\ 0 \\ 0 }[/mm]
>
> Teilaufgabe d: Gegeben ist eine rechteckige Fläche in
> yz-Ebene (x=0) mit den Eckpunkten
> [mm]A(0;0;z_{1})[/mm]
> [mm]B(0;0;z_{2})[/mm]
> [mm]C(0;\lambda_{0};z_{2})[/mm]
> [mm]D(0;\lambda_{0};z_{1})[/mm]
> Welcher zeitabhängige Verschiebungsstrom fließt durch
> diese Fläche?
>
> [mm]z_{2}[/mm] = [mm]z_{1}[/mm] + [mm]\bruch{3\lambda_{0}}{4}[/mm]
Ah, OK, dann steht da im Integranden nicht [mm] $-\beta [/mm] z$, sondern $ [mm] -\beta(z-z_1)$, [/mm] denn sonst käme für [mm] $z=z_1$ [/mm] nicht die Vorgabe für [mm] $e(z_{1},t)$ [/mm] heraus:
[mm]\integral_{0}^{\lambda_{0}}{\integral_{z_{1}}^{z_{1}+3\lambda_{0}/4}{-\omega\epsilon_{0}|E_{x}|sin(\omega t + \pi/4 - \beta (z-z_1) ) dz} dy} [/mm].
Und daraus ergibt sich dann, dass am Schluss auch nicht [mm] $-\beta z_1$, [/mm] sondern $ [mm] -\beta(z_1-z_1)=0$ [/mm] im Cosinus steht.
Wenn ich micht verrechnet habe, kommt dann
[mm] \sqrt{2} f\lambda_{0}^{2}\epsilon_{0}|E_{x}| \cos(\omega t) [/mm]
heraus.
Viele Grüße
Rainer
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