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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:13 Mi 09.02.2011 | | Autor: | Fry |
Hallo zusammen,
[mm] P^X [/mm] soll die Verteilung/Bildmaß einer Zufallsvariablen X sein.
F die Verteilungsfunktion von X.
1.Frage: Warum gilt für t>0 bzw gilt dann wirklich (hab ich in ner Seminarausarbeitung gefunden)
[mm] \int e^{tx}P^{X}(dx)=\int e^{tx} [/mm] F(dx)
Gilt generell: [mm] \int [/mm] g(x) [mm] P^{X}(dx)=\int [/mm] g(x) F(dx) ?
2.Frage:
Es sei P(X<0)=1
Warum folgt dann, dass
[mm] \int x*e^{tx} P^{X}(dx)<0 [/mm] ?
(Hab gedacht, dass man dann gilt [mm] x*e^{tx}<0 [/mm] und das dann daraus folgt. Wie würde man das schön formal begründen/aufschreiben?)
Viele Grüße
Fry
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:21 Mi 09.02.2011 | | Autor: | gfm |
> Hallo zusammen,
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> [mm]P^X[/mm] soll die Verteilung/Bildmaß einer Zufallsvariablen X
> sein.
> F die Verteilungsfunktion von X.
> 1.Frage: Warum gilt für t>0 bzw gilt dann wirklich (hab
> ich in ner Seminarausarbeitung gefunden)
>
> [mm]\int e^{tx}P^{X}(dx)=\int e^{tx}[/mm] [mm] F_X(dx)
[/mm]
>
> Gilt generell: [mm]\int[/mm] g(x) [mm]P^{X}(dx)=\int[/mm] g(x) F(dx) ?
Per Definition gilt [mm] F_X(t):=P(\{X\le t\})=P(X^{-1}((\infty,t]))=:P^X((\infty,t]) [/mm]
Davon abgesehen ist liefert [mm] P^X((\infty,t]) [/mm] ein [mm] F_X(t) [/mm] für welches wieder [mm] P^X(A)=\integral 1_A(t)dF(t) [/mm] gilt. Das ist ein allgemeiner Zusammenhang zwischen den W-Maßen und Verteilungsfunktionen auf [mm] \IR.
[/mm]
>
> 2.Frage:
> Es sei P(X<0)=1
> Warum folgt dann, dass
> [mm]\int x*e^{tx} P^{X}(dx)<0[/mm] ?
> (Hab gedacht, dass man dann gilt [mm]x*e^{tx}<0[/mm] und das dann
> daraus folgt. Wie würde man das schön formal
> begründen/aufschreiben?)
Ich weß nicht ob man da noch was begründen muss. Die Verteilungsfunktion [mm] F_X(t) [/mm] dieser ZV ist konstant 1 ab t=0. Weiterhin kann laut Vorraussetzung keine W-Masse in Null selber konzentriert sein, d.h. bei t=0 gibt es keinen Sprung. Somit ist F(t) für Werte t<0 von Null verschieden, sodass sich dann mit einem für t<0 echt negativem Integrandem immmer etwas kleiner Null ergibt.
LG
gfm
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:23 Mi 09.02.2011 | | Autor: | Fry |
Hey gfm,
vielen Dank für deine schnelle Antwort!
Seh ich es richtig, dass dann die 1.Gleichheit gilt, weil
[mm] P^X [/mm] dann die konstante Funktion [mm] $1_{\IR}$ [/mm] als [mm] $F_X$-Dichte [/mm] hat?
Danke nochmal.
LG
Fry
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:39 Mi 09.02.2011 | | Autor: | gfm |
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> Hey gfm,
>
> vielen Dank für deine schnelle Antwort!
> Seh ich es richtig, dass dann die 1.Gleichheit gilt, weil
> [mm]P^X[/mm] dann die konstante Funktion [mm]1_{\IR}[/mm] als [mm]F_X[/mm]-Dichte
> hat?
Wenn man so will. Es ist einfach so, dass das Maß, das man mit der Verteilungsfunktion eines Maß definiert, wieder das Ausgangsmaß ergibt.
LG
gfm
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:16 Do 10.02.2011 | | Autor: | Fry |
Ok, verstanden! Danke.
Noch ein paar Fragen.
[mm] \phi(t)=E(e^{tX})=\int e^{tx}dP^X
[/mm]
1. Es gilt, falls [mm] P(X\le [/mm] 0)=1 und P(X=0)>0,
dass: [mm] lim_{t\to\infty}\phi(t)=P(X=0)
[/mm]
2. Falls P(X<0)>0 und P(X>0)>0:
[mm] lim_{t\to\infty}\phi(t)=\infty
[/mm]
Meine Begründung:
zu [mm] 1)\int e^{tx}dP^X=\int_{x<0}e^{tx}dP^X+\int_{x=0}e^{tx}dP^X+\int_{x>0}e^{tx}dP^X\to_{t\to\infty} [/mm] P(X=0)
da {x>0} Nullmenge ist 3.Integral =0, und [mm] e^{tx} [/mm] für x<0 gegen 0 läuft für [mm] t\to\infty [/mm] (1.Integral) Hab dort den Satz von der monotonen Konvergenz angewendet.
2. In diesem Fall läuft das 3.Integral gegen [mm] \infty, [/mm] das 1. gegen 0.
Stimmt die Begründung oder sieht man das sofort?
LG
Fry
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:12 Di 15.02.2011 | | Autor: | gfm |
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> Ok, verstanden! Danke.
> Noch ein paar Fragen.
> [mm]\phi(t)=E(e^{tX})=\int e^{tx}dP^X[/mm]
>
> 1. Es gilt, falls [mm]P(X\le[/mm] 0)=1 und P(X=0)>0,
> dass: [mm]lim_{t\to\infty}\phi(t)=P(X=0)[/mm]
>
> 2. Falls P(X<0)>0 und P(X>0)>0:
> [mm]lim_{t\to\infty}\phi(t)=\infty[/mm]
>
> Meine Begründung:
> zu [mm]1)\int e^{tx}dP^X=\int_{x<0}e^{tx}dP^X+\int_{x=0}e^{tx}dP^X+\int_{x>0}e^{tx}dP^X\to_{t\to\infty}[/mm]
> P(X=0)
>
> da {x>0} Nullmenge ist 3.Integral =0, und [mm]e^{tx}[/mm] für x<0
> gegen 0 läuft für [mm]t\to\infty[/mm] (1.Integral) Hab dort den
> Satz von der monotonen Konvergenz angewendet.
Nicht der Satz von der majorisierten Konvergenz?
>
> 2. In diesem Fall läuft das 3.Integral gegen [mm]\infty,[/mm] das
> 1. gegen 0.
>
> Stimmt die Begründung oder sieht man das sofort?
>
> LG
> Fry
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:42 Mo 21.02.2011 | | Autor: | Fry |
Warum denn?
Sind die Voraussetzungen nicht erfüllt?
positive messbare Funktionenfolge mit ex. Limes..?
VG
Fry
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:57 Mo 21.02.2011 | | Autor: | gfm |
> Warum denn?
> Sind die Voraussetzungen nicht erfüllt?
> positive messbare Funktionenfolge mit ex. Limes..?
>
> VG
> Fry
Für welches Integral hast Du den Satz von der monotonen Konvergenz verwendet?
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:13 Di 22.02.2011 | | Autor: | Fry |
Ah! verstehe,
beim Integral [mm] $\int e^{tx}*1_{\{x<0\}}dP^X$ [/mm] ist die Funktionenfolge nicht aufsteigend. Da kann ich dann den Satz von der majorisierten Konvergenz verwenden, da [mm] $|e^{tx}*1_{\{x<0\}}|<1$ [/mm] für alle $t$ und $x$
und [mm] $\int dP^X=1<\infty$
[/mm]
Beim dritten Integral lässt sich dann der Satz von der monotonen Konvergenz anwenden.
Oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:51 Di 22.02.2011 | | Autor: | gfm |
> Ah! verstehe,
> beim Integral [mm]\int e^{tx}*1_{\{x<0\}}dP^X[/mm] ist die
> Funktionenfolge nicht aufsteigend. Da kann ich dann den
> Satz von der majorisierten Konvergenz verwenden, da
> [mm]|e^{tx}*1_{\{x<0\}}|<1[/mm] für alle [mm]t[/mm] und [mm]x[/mm]
> und [mm]\int dP^X=1<\infty[/mm]
>
> Beim dritten Integral lässt sich dann der Satz von der
> monotonen Konvergenz anwenden.
>
> Oder?
Ich denke schon.
LG
gfm
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