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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:24 Do 28.04.2005 | | Autor: | bastue |
Hallo !
Haben von unserm Prof vier Integrale bekommen, die wir berechnen sollen und da ich Ana ( im Gegensatz zu Lina :) ) hasse wie die Pest, komm ich damit so gar nicht zu recht, auch wenn sie für die meisten wohl Kinderspiele sind...
a ) [mm] x^n [/mm] * e ^ ax / n e N a e R
b) [mm] tan^2(x)
[/mm]
c) [mm] log^a(x) [/mm] / x / a e R
d) [mm] x^4 [/mm] / ( 1 + x ^2 )
An Ergebnis oder Lösung bin ich gar nicht interessiert, eher vielleicht an einer Art Algorithmus wie ich hier am besten anfange. Ich weiß schon nicht, ob ich es nun eher mit partieller Integration oder mit einer Substitution versuchen soll, hab mir die beiden Bereiche im Papula mal angesehen , aber nun würde ich wild überall partielle Integration versuchen , aber genauso gut würde mir nix einfallen warum man es nicht mit Substitution versuchen sollte bei den Aufgaben.. und bei a irritiert mich völlig, ich hab nur schon in nem Buch gefunden, dass man da eine rekursive Darstellung braucht ?
sieht man jetzt schon an den Aufgaben an sich schon ob ich da das eine oder das andere anwenden kann / muss ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:18 Fr 29.04.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo Basti
> Hallo !
> Haben von unserm Prof vier Integrale bekommen, die wir
> berechnen sollen und da ich Ana ( im Gegensatz zu Lina :) )
> hasse wie die Pest, komm ich damit so gar nicht zu recht,
> auch wenn sie für die meisten wohl Kinderspiele sind...
Das würde ich aber durch fleissiges Lernen ändern! Die moderne Physik ist ja mehr Analysis als etwas Anderes! 
>
> a ) [mm]x^n[/mm] * e ^ ax / n e N a e R
>
Wenn ein Faktor die Form [mm] $e^{..}$ [/mm] hat, dann würde ich davon die Stammfunktion bilden, und den anderen Faktor ableiten. Also partielle Integration. Dafür spricht ja auch, dass der andere Faktor die Form [mm] $x^n$ [/mm] hat. Hier kommt beim Ableiten doch der Exponent um eins herunter, und irgendwann sollte er null sein!
Eine Stammfunktion von [mm] $e^{ax}$ [/mm] ist wohl [mm] $\bruch{1}{a}e^{ax}$, [/mm] womit sich mit ganz wenigen Rechenschritten ergibt:
[mm] $\integral{x^ne^{ax} \, dx}=\bruch{1}{a}e^{ax}x^n-\bruch{n}{a}\integral{x^{n-1}e^{ax} \, dx}$
[/mm]
Hier erkennst du, dass rechts eigentlich wieder das gleiche Integral auszuwerten ist, nur mit einem um 1 verminderten Exponenten.
Somit kannst du einfach die Rekursionsformel aufstellen:
[mm] $I_n=\bruch{1}{a}e^{ax}x^n-\bruch{n}{a}I_{n-1}$
[/mm]
Ich hoffe, es ist klar, was mit [mm] $I_n$ [/mm] gemeint ist.
Jetzt musst du nur noch [mm] $I_0$ [/mm] berechnen, und du hast eine Rekursionsformel erhalten.
> b) [mm]tan^2(x)[/mm]
>
Hier führt die schlichte Substitution [mm] $x=\arctan [/mm] u$ zum Ziel.
> c) [mm]log^a(x)[/mm] / x / a e R
>
Wenn du Logarithmus und [mm] $\bruch{1}{x}$ [/mm] im Interganden hast, empfiehlt es sich meistens, vom Bruch eine Stammfunktion zu suchen (ist hier einfach) und den Logarithmus abzuleiten. Also wieder eine einfache partielle Integration! Möglicherweise kann man hier aber die sich ergebende Rekursionsformel (das $a_$ vermindert sich jeweils um 1) in eine geschlossene Form bringen. Nach meinem Gefühl sollte so etwas wie eine Geometrische Reihe entstehen. Ich kann mich aber auch irren!
> d) [mm]x^4[/mm] / ( 1 + x ^2 )
>
Hier musst du nur die Polynomdivision durchführen, bis der Grad des Zählerpolynoms kleiner ist als der Grad des Nennerpolynoms. Dann kannst du die Summanden einzeln Integrieren. 
>
> An Ergebnis oder Lösung bin ich gar nicht interessiert,
> eher vielleicht an einer Art Algorithmus wie ich hier am
> besten anfange. Ich weiß schon nicht, ob ich es nun eher
> mit partieller Integration oder mit einer Substitution
> versuchen soll, hab mir die beiden Bereiche im Papula mal
> angesehen , aber nun würde ich wild überall partielle
> Integration versuchen , aber genauso gut würde mir nix
> einfallen warum man es nicht mit Substitution versuchen
> sollte bei den Aufgaben.. und bei a irritiert mich völlig,
> ich hab nur schon in nem Buch gefunden, dass man da eine
> rekursive Darstellung braucht ?
>
> sieht man jetzt schon an den Aufgaben an sich schon ob ich
> da das eine oder das andere anwenden kann / muss ?
>
Es braucht lediglich ein Bisschen Uebung, bis etwas Fingerspitzengefühl kommt. Es schadet auch nichts, einfach mal die eine Methode zu versuchen, und bei Scheitern eine Andere! Nur Misserfolge führen dazu, dass man später nicht die gleichen Fehler macht! Also einfach: Frisch gewagt ist halb gewonnen!
Du darfst selbstverständlich deine Rechenschitte hier präsentieren, dann wird das durch ein Mitglied des Matheraums beurteilt, und bei Bedarf weitere Tipps gegeben.
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 Mo 02.05.2005 | | Autor: | bastue |
Hi , erstmal danke für deine ausführliche Antwort, kann nicht so schnell antworten --> muss immer erst ins Internetc@fe dafür.
Leider hab ich irgendwie zu jeder deiner Antworten Fragen , scheinbar hab ich noch ein analysisches Brett vorm Kopf...
Habe noch Schwierigkeiten bei a
Ich kann noch nicht wirklich nachvollziehen wie du vom "letzten" Schritt zur Rekursionsformel gekommen bist, und mit Io, meinst du damit die Rekursionsformel quasi n-mal anwenden um quasi zum Grundintegral e^ax zu kommen oder vermisch ich hier gerade alles falsch?
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Hallo bastue,
> Ich kann noch nicht wirklich nachvollziehen wie du vom
> "letzten" Schritt zur Rekursionsformel gekommen bist, und
die Definition die Paulus gemacht hat, gilt für alle n >= 0:
[mm]I_{n} \; = \;\int {x^{n} \;e^{ax} \;dx} [/mm]
Demzufolge gilt auch für n > 0:
[mm]I_{n - 1} \; = \;\int {x^{n - 1}\;e^{ax} \;dx} [/mm]
Eingesetzt in die Formel:
[mm]\begin{array}{l}
\int {x^ {n} \;e^{ax} \;dx} \; = \;\frac{1}{a}\;x^{n} \;e^{ax} \; - \;\frac{n}{a}\;\int {x^{n - 1} \;e^{ax} \;dx} \\
\Leftrightarrow \;I_{n} \; = \;\frac{1}{a}\;x^{n} \;e^{ax} \; - \;\frac{n}{a}\;I_{n - 1} \\
\end{array}[/mm]
> mit Io, meinst du damit die Rekursionsformel quasi n-mal
> anwenden um quasi zum Grundintegral e^ax zu kommen oder
> vermisch ich hier gerade alles falsch?
Per Definition ist [mm]I_{0}[/mm]
[mm]I_{0} \; = \;\int {x^{0} \;e^{ax} \;dx} \; = \;\int {e^{ax} \;dx}[/mm]
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:27 Mi 04.05.2005 | | Autor: | bastue |
AH
Danke !
Nun hab ich die 4 Integrale geblickt , auch wenn ich bei c keine geometrische reihe rausbekommen habe und bei b mit [mm] sin(x)^2 [/mm] / [mm] cos(x)^2 [/mm] weitergespielt hab....
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