Integrale < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:44 Do 16.10.2008 | | Autor: | Teufel |
| Aufgabe | Berechne das uneigentliche Integral:
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{x^n}{\wurzel{1-x^2}} dx}; [/mm] $n [mm] \in \IN$ [/mm] |
So, hier mal das nächste.
Ersetzen mit x:=sin(t) liefert dann
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{x^n}{\wurzel{1-x^2}} dx}=\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{[sin(t)]^n dx}.
[/mm]
Damit komme ich dann im Endeffekt auf
[mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{[sin(t)]^n dx}=\begin{cases} \bruch{(n-1)(n-3)(n-5)...3*1}{(n-2)(n-4)(n-6)...*4*2}*\bruch{\pi}{2}, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ \bruch{(n-1)(n-3)(n-5)..*4*2}{(n-2)(n-4)(n-6)...*5*3}, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade außer 1} \\ 1, & \mbox{für } n \mbox{=1}\end{cases}
[/mm]
Falls das stimmen sollte: Wie kann ich diese Produkte denn vereinfachen? Es gibt sicher eine tolle Formel, die man induktiv beweisen kann, aber kann man sich auch eine Vereinfachung (recht schnell) herleiten? Außer, dass man (n-1)!=(n-1)(n-2)(n-3)...*2*1 nutzen kann (und dann durch (n-1)(n-3)... oder (n-2)(n-4)... teilen kann), ist mir nichts eingefallen.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:05 Do 16.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Teufel!
> Berechne das uneigentliche Integral:
> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{x^n}{\wurzel{1-x^2}} dx};[/mm] [mm]n \in \IN[/mm]
>
> So, hier mal das nächste.
>
> Ersetzen mit x:=sin(t) liefert dann
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{x^n}{\wurzel{1-x^2}} dx}=\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{[sin(t)]^n dx}.[/mm]
>
> Damit komme ich dann im Endeffekt auf
>
> [mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{[sin(t)]^n dx}=\begin{cases} \bruch{(n-1)(n-3)(n-5)...3*1}{(n-2)(n-4)(n-6)...*4*2}*\bruch{\pi}{2}, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ \bruch{(n-1)(n-3)(n-5)..*4*2}{(n-2)(n-4)(n-6)...*5*3}, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade außer 1} \\ 1, & \mbox{für } n \mbox{=1}\end{cases}[/mm]
Beim mittleren Term stimmen die Faktoren in Zähler und Nenner nicht, das ist wohl ein Tippfehler.
> Falls das stimmen sollte: Wie kann ich diese Produkte denn
> vereinfachen? Es gibt sicher eine tolle Formel, die man
> induktiv beweisen kann, aber kann man sich auch eine
> Vereinfachung (recht schnell) herleiten? Außer, dass man
> (n-1)!=(n-1)(n-2)(n-3)...*2*1 nutzen kann (und dann durch
> (n-1)(n-3)... oder (n-2)(n-4)... teilen kann), ist mir
> nichts eingefallen.
[mm] 2*4*\dots*(n-4)*(n-2) = (2*1)*(2*2)*\dots * (2*(n/2-2)) * (2 *(n/2 -1 )) = 2^{n/2 -1} * (n/2 -1)! [/mm]
und
[mm] 1*3*\dots*(n-3)*(n-1) = \bruch{(n-1)!}{2*4*\dots * (n-2)}= \bruch{(n-1)!}{2^{n/2 -1} * (n/2 -1)!} [/mm]
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:34 Do 16.10.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Hm, ne, war so gemeint in der mittleren Zeile. Die Rekursionsformel vom Integral von [mm] [sin(t)]^n [/mm] wird ja durch die Grenzen vereinfacht zu:
[mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{[sin(t)]^n dt}=\bruch{n-1}{n}\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{[sin(t)]^{n-2} dt}.
[/mm]
Und für n=3 würde ich da genau [mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{[sin(t)]^3 dt}=\bruch{2}{3} [/mm] erhalten, was mit meiner Darstellung übereinstimmen würde. Oder übersehe ich da etwas?
Teufel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:00 Do 16.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Teufel!
Du hast recht. Ich hatte
[mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{[sin(t)]^{\red{2n}} dt} [/mm] bzw. [mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{[sin(t)]^{\red{2n+1}} dt} [/mm] [/mm]
angeschaut, dann sehen die Brüche etwas anders aus, man kann die Fakultäten sofort hinschreiben.
Übrigens kannst du das ursprüngliche Integral durch die Substitution [mm] $t=x^2$ [/mm] auf das Integral für die Betafunktion umschreiben.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:54 Do 16.10.2008 | | Autor: | Teufel |
Ah ok, super!
Und wie kommt man auf die Betafunktion?
Ich habe das so:
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{x^n}{\wurzel{1-x^2}} dx}=\bruch{1}{2}\integral_{0}^{1}{t^{\bruch{1}{2}n-\bruch{1}{2}}(1-t)^{-\bruch{1}{2}} dt}.
[/mm]
Aber ist die Betafunktion nicht nur für natürliche Exponenten definiert? Wie sollte man denn sonst z.B. die Fakultäten berechnen?
Teufel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:19 Do 16.10.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ah, na dann soll mal einer wissen! Da fehlen mir wohl noch einige Grundlagen. Aber noch dürfen mir die ja fehlen. Während des Studiums dann am besten nicht mehr. :P
Danke dir!
Teufel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 Do 16.10.2008 | | Autor: | Teufel |
| Aufgabe | Berechne das uneigentliche Integral:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{dx}{(1+x^2)^n} dx}; [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] |
Gleiches Spiel, andere Funktion.
Hier komme ich auf
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{dx}{(1+x^2)^n} dx}=\bruch{(2n-2)!}{4^{n-1}((n-1)!)²}\pi, [/mm] ohne Fallunterscheidung diesmal.
Habe zuerst x=tan(t) gesetzt und aus dem Integral das gemacht: [mm] \integral_{-\bruch{\pi}{2}}^{\bruch{\pi}{2}}{(cost)^{2n-2} dx}.
[/mm]
Dann habe ich k=2n-2 gesetzt und mit Rekursion komme ich dann wieder auf [mm] \integral_{-\bruch{\pi}{2}}^{\bruch{\pi}{2}}{(cost)^{2n-2} dx}=\bruch{(k-1)(k-3)(k-5)...*3*1}{k(k-2)(k-4)...*4*2}*\pi, [/mm] wobei k immer gerade ist für alle n [mm] \in \IN. [/mm] Dann vereinfacht, wie mir gezeigt wurde, und k zurück ersetzt. Mit der Vereinfachung gilt die Formel dann sogar für n=1 (ohne Vereinfachung hätte man das gesondert betrachten müssen, aber der Fall is ja eh trivial).
Findet da irgendjemand einen Fehler, oder ist alles ok so?
Teufel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:08 Do 16.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Teufel!
> Berechne das uneigentliche Integral:
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{dx}{(1+x^2)^n} dx};[/mm] n
> [mm]\in \IN[/mm]
> Gleiches Spiel, andere Funktion.
>
> Hier komme ich auf
>
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{dx}{(1+x^2)^n} dx}=\bruch{(2n-2)!}{4^{n-1}((n-1)!)²}\pi,[/mm]
> ohne Fallunterscheidung diesmal.
>
> Habe zuerst x=tan(t) gesetzt und aus dem Integral das
> gemacht:
> [mm]\integral_{-\bruch{\pi}{2}}^{\bruch{\pi}{2}}{(cost)^{2n-2} dx}.[/mm]
Sieht gut aus: mein Rechenknecht bekommt für das Integral
[mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{dx}{(1+x^2)^n} dx} = \bruch{\sqrt{\pi}\Gamma(n-\bruch{1}{2})}{\Gamma(n)}} = \bruch{\sqrt{\pi}}{(n-1)!} \Gamma(n-\bruch{1}{2})[/mm]
heraus, die verbleibende Gammafunktion kann man mit der Verdopplungsformel
[mm] \Gamma(n-\bruch{1}{2}) \Gamma(n) = \bruch{\sqrt{\pi}}{2^{2n-2}} \Gamma(2n-1) [/mm]
in dein Ergebnis umformen.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
|
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Wiki: Betafunktion
