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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:54 Mi 15.10.2008 | | Autor: | Teufel |
| Aufgabe | Integriere:
[mm] f(x)=\bruch{1}{x^4+1}
[/mm]
Berechne:
[mm] \integral_{0}^{1}{x^p(1-x)^q dx}; [/mm] p,q [mm] \in \IN
[/mm]
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Hallo!
Zum 1. fällt mir nichts brauchbares ein. Substituiert habe ich mit diversen Funktionen, aber irgendwie bin ich auf nichts brauchbares gekommen.
Das Ergebnis sieht auch ziemlich übel aus...
Zum 2.)
[mm] \integral_{0}^{1}{x^p(1-x)^q dx}
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{1}{x^p\summe_{i=0}^{q}\vektor{q \\ i}x^i*(-1)^i dx}
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{1}{\summe_{i=0}^{q}\vektor{q \\ i}x^{p+i}*(-1)^i dx}
[/mm]
[mm] =\summe_{i=0}^{q}\integral_{0}^{1}{\vektor{q \\ i}x^{p+i}*(-1)^i dx}
[/mm]
[mm] =[\summe_{i=0}^{q}\bruch{\vektor{q \\ i}}{p+i+1}x^{p+i+1}*(-1)^i]^1_0
[/mm]
[mm] =\summe_{i=0}^{q}\bruch{\vektor{q \\ i}}{p+i+1}*(-1)^i
[/mm]
Oder? Könnte man da noch etwas vereinfachen?
So viel dazu.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:46 Mi 15.10.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Danke erstmal.
Mit der ersten Aufgabe setze ich mich morgen nochmal auseinander, komplex integriert habe ich ja nun noch gar nicht.
Zur 2.)
Interessante, Funktion, was es nicht alles gibt ;) auf alle Fälle komme ich jetzt auf [mm] \integral_{0}^{1}{x^p(1-x)^q dx}=\bruch{p!q!}{(p+q+1)!}. [/mm] Das sollte stimmen, oder? Findet diese Funktion irgendwo Anwendung? Sieht mir nämlich etwas "binomialverteilungsmäßig" aus.
Edit: Und ich sehe grad, dass mir diese Rekursive Darstellung auch bei anderen Aufgaben noch hilft. Na das passt ja super!
Teufel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:07 Do 16.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Mit der ersten Aufgabe setze ich mich morgen nochmal
> auseinander, komplex integriert habe ich ja nun noch gar
> nicht.
Hmm, es geht auch rein reell: als reelles Polynom hat [mm] $x^4+1$ [/mm] eine Zerlegung in quadratische reelle Polynome, nämlich
[mm] \bruch{1}{x^4+1} = \bruch{1}{(x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1)} = \bruch{1}{2\sqrt{2}} \left(\bruch{x+\sqrt{2}}{x^2+\sqrt{2}x+1} -\bruch{x-\sqrt{2}}{x^2-\sqrt{2}x+1} \right) [/mm]
> Zur 2.)
> Interessante, Funktion, was es nicht alles gibt ;) auf
> alle Fälle komme ich jetzt auf [mm]\integral_{0}^{1}{x^p(1-x)^q dx}=\bruch{p!q!}{(p+q+1)!}.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Das sollte stimmen, oder? Findet diese Funktion irgendwo
> Anwendung? Sieht mir nämlich etwas
> "binomialverteilungsmäßig" aus.
Suche mal unter dem Stichwort Betafunktion!
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:17 Do 16.10.2008 | | Autor: | Teufel |
Werde nachher mal gucken!
Aber eine Frage hätte ich noch: Wie kommt man denn auf diese Darstellung?
Teufel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:13 Do 16.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Teufel!
> Aber eine Frage hätte ich noch: Wie kommt man denn auf
> diese Darstellung?
Du meinst die Zerlegung von [mm] $x^4+1$, [/mm] nehme ich an?
Dass eine Zerlegung in zwei quadratische Polynome existiert, folgt aus dem Fundamentalsatz der Algebra. Eine Möglichkeit ist, die allgemeine Zerlegung
[mm] x^4+1 = (x^2 +ax+b)(x^2+cx+d) [/mm]
anzusetzen und a,b,c,d durch Koeffizientenvergleich zu bestimmen.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:38 Do 16.10.2008 | | Autor: | Teufel |
Ah, ok!
Das mit dem Koeffizientenvergleich habe ich auch probiert, allerdings in einer etwas komplizierteren Form... vor den [mm] x^2 [/mm] hab ich jeweils auch Parameter gesetzt.
Danke dir!
Teufel
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