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| Aufgabe | [mm] \integral_{0}^{x}{tdt} [/mm] = [mm] \integral_{\bruch{1}{4}}^{\bruch{5}{2}}{\bruch{1}{\wurzel{4t-1}}dt}
[/mm]
Löse nach x auf. |
Hallo,
die Aufgabe gibts im Klausurtraining und es kommt folgendes raus.
x = [mm] \wurzel{3} [/mm] und x = [mm] -\wurzel{3}
[/mm]
Habe schon etwas ausgerechnet, aber hatte dann leider etwas anderes raus.
[mm] \bruch{x^{2}}{2} [/mm] = 2 * [mm] \wurzel{4\bruch{5}{2}-1} [/mm] - 2 * [mm] \wurzel{4\bruch{1}{4}-1}
[/mm]
Wusste nicht genau wie ich's machen soll, deshalb hab ich mal so angesetzt.
Habe hier aber als Ergebnis irgendwas mit +,- 1,47.... raus.
(Wurzel von 2,17... gezogen vorher)
Könnt ihr mir vielleicht nen Tip geben? Glaube, dass ich schon am Anfang was falsch gemacht habe.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo daniel_90,
> [mm]\integral_{0}^{x}{tdt}[/mm] =
> [mm]\integral_{\bruch{1}{4}}^{\bruch{5}{2}}{\bruch{1}{\wurzel{4t-1}}dt}[/mm]
>
> Löse nach x auf.
> Hallo,
>
> die Aufgabe gibts im Klausurtraining und es kommt folgendes
> raus.
> x = [mm]\wurzel{3}[/mm] und x = [mm]-\wurzel{3}[/mm]
>
> Habe schon etwas ausgerechnet, aber hatte dann leider etwas
> anderes raus.
> [mm]\bruch{x^{2}}{2}[/mm] = 2 * [mm]\wurzel{4\bruch{5}{2}-1}[/mm] - 2 *
> [mm]\wurzel{4\bruch{1}{4}-1}[/mm]
> Wusste nicht genau wie ich's machen soll, deshalb hab ich
> mal so angesetzt.
> Habe hier aber als Ergebnis irgendwas mit +,- 1,47....
> raus.
> (Wurzel von 2,17... gezogen vorher)
>
> Könnt ihr mir vielleicht nen Tip geben? Glaube, dass ich
> schon am Anfang was falsch gemacht habe.
Ja. Die Stammfunktion zu [mm]\bruch{1}{\wurzel{4t-1}}[/mm] stimmt bis auf einen Faktor nicht.
Konkret: Statt 2 muß es [mm]\bruch{1}{2}{[/mm] heissen.
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Gruß
MathePower
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Würde das dann so aussehen?
[mm] \bruch{x^{2}}{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \wurzel{4\bruch{5}{2}-1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \wurzel{4\bruch{1}{4}-1}
[/mm]
Habs dann jetzt noch mal durchgerechnet, aber habe wieder was anderes raus :-/.
Außerdem dachte ich, dass man ja den Exponenten + 1 rechnet und dann durch 1 dividiert. Das würde aber bei 1/2 bedeuten, dass es 2 wäre.
Kannst du mir das noch mal erklären?
Danke.
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Hallo daniel_90,
> Würde das dann so aussehen?
> [mm]\bruch{x^{2}}{2}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * [mm]\wurzel{4\bruch{5}{2}-1}[/mm]
> - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * [mm]\wurzel{4\bruch{1}{4}-1}[/mm]
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Habs dann jetzt noch mal durchgerechnet, aber habe wieder
> was anderes raus :-/.
Ich weiss jetzt nicht, wie Du das gerechnet hast.
[mm]\bruch{x^{2}}{2}=\bruch{1}{2}*\wurzel{4 * \bruch{5}{2}-1}-\bruch{1}{2} * \wurzel{4*\bruch{1}{4}-1}[/mm]
[mm]\gdw x^{2}=\wurzel{4 * \bruch{5}{2}-1}-\wurzel{4*\bruch{1}{4}-1}[/mm]
[mm]\gdw x^{2}=\wurzel{ \bruch{20}{2}-1}-\wurzel{\bruch{4}{4}-1}[/mm]
[mm]\gdw x^{2}=\wurzel{10-1}-\wurzel{1-1}[/mm]
[mm]\gdw x^{2}=\wurzel{9}-\wurzel{0}[/mm]
[mm]\gdw x^{2}=\wurzel{9}[/mm]
[mm]\gdw x^{2}=3[/mm]
> Außerdem dachte ich, dass man ja den Exponenten + 1
> rechnet und dann durch 1 dividiert. Das würde aber bei 1/2
> bedeuten, dass es 2 wäre.
Das stimmt nur für die Integranden der Form [mm]\bruch{1}{\wurzel{t+a}}\ , a \in \IR[/mm]
> Kannst du mir das noch mal erklären?
Hier hast Du aber [mm]\bruch{1}{\wurzel{4t-1}}=\bruch{1}{\wurzel{4*\left(t-\bruch{1}{4}\right)}}=\bruch{1}{2*\wurzel{t-\bruch{1}{4}}[/mm]
Nach dem was Du gesagt hast, ist [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{2*\wurzel{t-\bruch{1}{4}} dx}=\bruch{1}{2}*\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{t-\bruch{1}{4}}} dx}=\bruch{1}{2}*2*{\wurzel{t-\bruch{1}{4}}}={\wurzel{t-\bruch{1}{4}}}[/mm]
Nun erweitern wir den Radikand mit [mm]\bruch{4}{4}[/mm]:
[mm]{\wurzel{t-\bruch{1}{4}}}={\wurzel{{\bruch{4}{4}*\left(t-\bruch{1}{4}\right)}}=\bruch{1}{2}*{\wurzel{{4*\left(t-\bruch{1}{4}\right)}}=\bruch{1}{2}{\wurzel{{4t-1}}[/mm]
Demnach gilt:
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{4t-1}} \ dx} \ = \ \bruch{1}{2}{\wurzel{{4t-1}}[/mm]
>
> Danke.
Gruß
MathePower
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