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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:32 So 05.02.2006 | | Autor: | fenster3 |
| Aufgabe | | Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hallo gesucht sind folgende integrale:
[mm] \integral[(x^2+ \wurzel{x})/(2x)]^2 [/mm] dx
und
[mm] \integral x^2*ln(x^2+1)dx
[/mm]
komm da einfach nicht weiter für paar tips währe ich sehr dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:48 So 05.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo fenster!
Fasse den den ersten Integranden zusammen:
[mm] $\left(\bruch{x^2+\wurzel{x}}{2x}\right)^2 [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{x^2}{2x}+\bruch{\wurzel{x}}{2x}\right)^2 [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{x}{2}+\bruch{1}{2*\wurzel{x}}\right)^2 [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{x}{2}+\bruch{1}{2}*x^{-\bruch{1}{2}}\right)^2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{4}*\left(x+x^{-\bruch{1}{2}}\right)^2$
[/mm]
Nun noch die Klammer ausmultiplizieren und es kann losgehen mit dem Integrieren ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:08 So 05.02.2006 | | Autor: | fenster3 |
muss es nicht vor der klammer 1/2 heißen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:11 So 05.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo fenster!
Nein, wir klammern zunächst [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] aus, aber das Quadrat bezieht sich dann auf den gesamten Term:
[mm] $\left(\bruch{x}{2}+\bruch{1}{2}*x^{-\bruch{1}{2}}\right)^2 [/mm] \ = \ [mm] \left[\bruch{1}{2}*\left(x+x^{-\bruch{1}{2}}\right)\right]^2 [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{1}{2}\right)^2*\left(x+x^{-\bruch{1}{2}}\right)^2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{4}*\left(x+x^{-\bruch{1}{2}}\right)^2$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:32 So 05.02.2006 | | Autor: | fenster3 |
hab 1/4 [mm] *(x^2+2x^{1/2}+x^{-1})
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:34 So 05.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo fenster!
Das stimmt so! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Nun also integrieren ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 So 05.02.2006 | | Autor: | fenster3 |
[mm] {1/4}*[{1/3}x^3+{4/3}x^{3/2}]
[/mm]
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Hi, fenster,
> [mm]{1/4}*[{1/3}x^3+{4/3}x^{3/2}][/mm]
Nicht ganz!
Du hast übersehen, dass
[mm] \integral{(x^{-1}) dx} [/mm] = [mm] \integral{\bruch{1}{x}dx} [/mm] = ln(x) + c
für x > 0 ist!!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:50 So 05.02.2006 | | Autor: | fenster3 |
ah ja alles klar kamm mir schon kommisch vor weil bei ableiten nicht das gleiche hersaukamm
also fertig integriert
[mm] 1/4*(1/3x^3+4/3x^{3/2}+ln(x)+C)
[/mm]
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Hi, fenster,
jetzt passt's!
> [mm]1/4*(1/3x^3+4/3x^{3/2}+ln(x)+C)[/mm]
Kannst die Integrations-Konstante aber auch außerhalb der Klammer stehen lassen:
[mm] 1/4*(1/3x^3+4/3x^{3/2}+ln(x)) [/mm] + d.
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 So 05.02.2006 | | Autor: | fenster3 |
hallo gib es schon lösungsansätze für das integral von :
[mm] x^2+ln(x^2+1)
[/mm]
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> hallo gib es schon lösungsansätze für das integral von :
>
> [mm]x^2+ln(x^2+1)[/mm]
Trenne zunächst einmal die beiden Integrale:
[mm]\integral_{}^{}{x^2 dx}[/mm] +[mm]\integral_{}^{}{ln(x^2+1) dx}[/mm]
Das erste dürfte sich dann ganz leicht lösen lassen, das andere kannst du durch Substitution (z = x²+1) lösen.
Gruß
Rachel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 So 05.02.2006 | | Autor: | fenster3 |
oh ich sehe gerade das ich mich verschrieben habe es soll heißen
[mm] x^2*ln(x^2+1) [/mm]
sorry dann sieht die sache schon etwas kompliziert aus
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Hallo fenster3.
Siehe dazu meine Antwort weiter unten.
Gruß,
Christian
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Hi, fenster,
> [mm]x^2*ln(x^2+1)[/mm]
>
> sorry dann sieht die sache schon etwas kompliziert aus
Unwesentlich! Die Lösungsmethode bleibt dieselbe, nämlich:
partielles Integrieren, hier mit
v'(x) = [mm] x^{2} [/mm] und u(x) = [mm] ln(x^{2}+1)
[/mm]
(Beim Restintegral wirst Du Polynomdivision brauchen!)
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 So 05.02.2006 | | Autor: | fenster3 |
ok ich habs mal probiert
[mm] u'=x^2 u=1/3x^3
[/mm]
[mm] v=ln(x^2+1) v'=2x/(x^2+1)
[/mm]
[mm] 1/3x^3*ln(x^2+1)- \integral 1/3x^3*2x/(x^2+1) [/mm] dx
und so weiter
lösung
[mm] 1/3x^3*ln(x^2+1)-1/3[2/3x^3-2x]+C
[/mm]
kommt das hin?
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Hi, fenster,
> ok ich habs mal probiert
> [mm]u'=x^2 u=1/3x^3[/mm]
> [mm]v=ln(x^2+1) v'=2x/(x^2+1)[/mm]
>
> [mm]1/3x^3*ln(x^2+1)- \integral 1/3x^3*2x/(x^2+1)[/mm] dx
> und so weiter
>
> lösung
> [mm]1/3x^3*ln(x^2+1)-1/3[2/3x^3-2x]+C[/mm]
>
> kommt das hin?
Glaub' ich nicht! Bei mir kommt jedenfalls der arctan ins Spiel:
[mm] 1/3x^3*ln(x^2+1) [/mm] - [mm] \bruch{2}{3}*arctan(x) [/mm] - [mm] \bruch{2}{9}*x^{3} [/mm] + [mm] \bruch{2}{3}*x [/mm] + C
Oder hast Du das nur vergessen abzutippen?!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:24 So 05.02.2006 | | Autor: | fenster3 |
ne hab ich nicht wo kommt den arctan her
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Hi, fenster,
ich nehm mal nur den "wichtigsten Teil" des Restintegrals
(Vorzeichen und Konstante lass ich weg):
[mm] \integral{\bruch{x^{4}}{x^{2}+1}dx}
[/mm]
Der Integrand muss nun durch Polynomdivision vereinfacht werden. Dabei erhältst Du:
[mm] \bruch{x^{4}}{x^{2}+1} [/mm] = [mm] x^{2} [/mm] - 1 + [mm] \bruch{1}{x^{2}+1}
[/mm]
Ist's nun klar, wo der arctan herkommt?
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:59 So 05.02.2006 | | Autor: | fenster3 |
ah alles klar hatte ein fehler bei der polynomdivison
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 So 05.02.2006 | | Autor: | fenster3 |
ich dachte ich komme jetzt selber klar fast die gleiche aufgabe aber soll mit substitution gelöst werden integral von
[mm] \integral x*ln(x^2+1)dx
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:31 So 05.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo fenster!
Substitutiere: $z \ := \ [mm] x^2+1$ [/mm] mit $dx \ = \ [mm] \bruch{dz}{2x}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:18 So 05.02.2006 | | Autor: | fenster3 |
ok hab ich dann komm ich auf
1/2 [mm] \integral [/mm] ln(z) dz
und nu ??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:23 So 05.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo fenster!
Nun partielle Integration mit: [mm] $\integral{\ln(z) \ dz} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\red{1}*\ln(z) \ dz}$
[/mm]
Wähle $u' \ = \ 1$ sowie $v \ = \ [mm] \ln(z)$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:30 So 05.02.2006 | | Autor: | fenster3 |
ok ich hab folgendes
z*ln(z)-z+c
stimmt das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:34 So 05.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo fenster!
Das stimmt so! Nun wieder den Faktor [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] berücksichtigen sowie re-substituieren ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:41 So 05.02.2006 | | Autor: | fenster3 |
also
[mm] (x^2+1)*ln(x^2+1)-1/2*(x^2+1)+C
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:48 So 05.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Das stimmt nicht ganz! Der Faktor [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] bezog isch ja auf das gesamte Integral, so dass es heißen muss:
[mm] $\integral{x*\ln\left(x^2+1\right) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \red{\bruch{1}{2}}*\left(x^2+1\right)*\ln\left(x^2+1\right)-\bruch{1}{2}*\left(x^2+1\right)+C$
[/mm]
Das kannst Du ja auch "schnell" überprüfen, indem du diesen Ausdruck wieder ableitest. Da sollte dann die Ausgangsfunktion wieder herauskommen ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:18 So 05.02.2006 | | Autor: | fenster3 |
supa und gibt es schon ein lösungsansatz für das integral von
[mm] x^2*ln(x^2+1)
[/mm]
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Hallo.
> [mm]\integral x^2*ln(x^2+1)dx[/mm]
Hier eignet sich im ersten Schritt die partielle Integration.
Im zweiten tuts dann die Substitutionsregel.
Du mußt halt das Produkt geschickt auftrennen.
Gruß,
Christian
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