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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 Di 11.10.2005 | | Autor: | Scrab |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo ich bin gerade am Mathe-Hausaufgaben machen und habe dabei festgestellt, dass ich doch nicht so den Durchblick habe, wie ich gehofft hatte.
Aufgabe:
Gegeben sind die quadratischen Funktionen f(x)= [mm] (x+3)^2 [/mm] und
g(x)= [mm] -(x+5)^2+4
[/mm]
Die beiden Graphen umschließen ein Flächenstück. Berechnen sie dessen Flächeninhalt.
Ich weiß, dass ich jetzt erst einmal die Schnittpunkte berechnen muss, dass habe ich auch getan das sind Punkt Z (-3/0) und Y (-5/4)
Um die Fläche heraus zu bekommen muss ich doch
( [mm] \integral_{-5}^{-3} {f-(x+5)^2+4 dx})-(\integral_{-5}^{-3} {f(x+3)^2 dx})
[/mm]
rechnen ?
Dafür rechne ich ersteinmal die jeweilgen Integrale aus.
Das für [mm] (\integral_{-5}^{-3} {f(x+3)^2 dx}) [/mm] habe ich noch hinbekommen indem ich folgendes gerechnet habe:
[mm] (\integral_{-5}^{-3} {f(x+3)^2 dx}) [/mm]
= [mm] \integral_{-5}^{-3} {f(x^2+6x+9) dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{a}^{b} {f(x^2) dx}+ 6\* \integral_{-5}^{-3} [/mm] {f(x) dx}+ [mm] \integral_{-5}^{-3} [/mm] {9 dx}
Das sind doch dann:
( [mm] \bruch{-3^3}{3}- \bruch{-5^3}{5})+ [/mm] 6 [mm] \*( \bruch{-3^2}{2}- \bruch{-5^2}{2}) [/mm] + 18
= (-9+ [mm] \bruch{125}{3})+6 \*( \bruch{9}{2}- \bruch{25}{2}) [/mm] +18
= 2 [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
So, und nun bin ich mit meinem Latein bzw Mathe am Ende.
Denn jetz muss ich das ganze doch für
[mm] \integral_{-5}^{-3} {f-(x+5)^2+4 dx}
[/mm]
machen und die ERgebnisse von einander abziehen.
Aber ich weiß nicht, wie das mit
[mm] \integral_{-5}^{-3} {f-(x+5)^2+4 dx}
[/mm]
gehen soll, da ich nicht weiß, wie ich das mit dem - und der +4 machen muss.
Ist das dann:
[mm] \integral_{-5}^{-3} {f-(x^2+10x+25)+4 dx} [/mm] ?
und ist dann der nächste Schritt:
[mm] \integral_{-5}^{-3} {f-(x^2)+4 dx} [/mm] + 10 [mm] \* \integral_{-5}^{-3} [/mm] {f-(x)+4 dx} + [mm] \integral_{-5}^{-3} [/mm] {25+4 dx} ?
Ich hoffe mir kann jemand helfen und ihr habt verstanden , was ich meine...
Liebe Grüße
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Hi,
> Hallo ich bin gerade am Mathe-Hausaufgaben machen und habe
> dabei festgestellt, dass ich doch nicht so den Durchblick
> habe, wie ich gehofft hatte.
>
> Aufgabe:
> Gegeben sind die quadratischen Funktionen f(x)= [mm](x+3)^2[/mm]
> und
> g(x)= [mm]-(x+5)^2+4[/mm]
> Die beiden Graphen umschließen ein Flächenstück. Berechnen
> sie dessen Flächeninhalt.
>
> Ich weiß, dass ich jetzt erst einmal die Schnittpunkte
> berechnen muss, dass habe ich auch getan das sind Punkt Z
> (-3/0) und Y (-5/4)
>
> Um die Fläche heraus zu bekommen muss ich doch
> ( [mm]\integral_{-5}^{-3} {f-(x+5)^2+4 dx})-(\integral_{-5}^{-3} {f(x+3)^2 dx})[/mm]
>
> rechnen ?
>
> Dafür rechne ich ersteinmal die jeweilgen Integrale aus.
> Das für [mm](\integral_{-5}^{-3} {f(x+3)^2 dx})[/mm] habe ich noch
> hinbekommen indem ich folgendes gerechnet habe:
>
> [mm](\integral_{-5}^{-3} {f(x+3)^2 dx})[/mm]
> = [mm]\integral_{-5}^{-3} {f(x^2+6x+9) dx}[/mm]
> =
> [mm]\integral_{a}^{b} {f(x^2) dx}+ 6\* \integral_{-5}^{-3}[/mm]
> {f(x) dx}+ [mm]\integral_{-5}^{-3}[/mm] {9 dx}
>
> Das sind doch dann:
>
> ( [mm]\bruch{-3}^3{3}- \bruch{-5^3}{5})+[/mm] 6 [mm]\*( \bruch{-3^2}{2}- \bruch{-5^2}{2})[/mm]
> + 18
> = (-9+ [mm]\bruch{125}{3})+6 \*( \bruch{9}{2}- \bruch{25}{2})[/mm]
> +18
> = 2 [mm]\bruch{2}{3}[/mm]
>
> So, und nun bin ich mit meinem Latein bzw Mathe am Ende.
> Denn jetz muss ich das ganze doch für
> [mm]\integral_{-5}^{-3} {f-(x+5)^2+4 dx}[/mm]
> machen und die
> ERgebnisse von einander abziehen.
>
> Aber ich weiß nicht, wie das mit
> [mm]\integral_{-5}^{-3} {f-(x+5)^2+4 dx}[/mm]
> gehen soll, da ich
> nicht weiß, wie ich das mit dem - und der +4 machen muss.
> Ist das dann:
> [mm]\integral_{-5}^{-3} {f-(x^2+10x+25)+4 dx}[/mm] ?
>
> und ist dann der nächste Schritt:
> [mm]\integral_{-5}^{-3} {f-(x^2)+4 dx}[/mm] + 10 [mm]\* \integral_{-5}^{-3}[/mm]
> {f-(x)+4 dx} + [mm]\integral_{-5}^{-3}[/mm] {25+4 dx} ?
Deine Rechnung ist schon richtig, aber du kannst dir das alles viel einfacher machen. Du kannst beide Funktionen in ein Integral schreiben:
[mm]\integral_{-5}^{-3}{f((x+3)^2-(-(x+5)^2)+4)dx}[/mm]
Daraus wird in der Umformung dann:
[mm]\integral_{-5}^{-3}{f((x²+3x+9+x²+10x+25-4)dx}[/mm]
bzw.:
[mm]\integral_{-5}^{-3}{f((2x²+13x+30)dx}[/mm]
Jetzt muss nur noch die Stammfunktion/Aufleitung dazu gebildet werden, also die Umkehr zur Ableitung
F(X): [mm]\bruch{2}{3}[/mm]x³+[mm]\bruch{13}{2}[/mm]x²+30x
Diese muss nun in die Grenzen -5 und -3 eingesetzt werden:
([mm]\bruch{2}{3}[/mm]x³+[mm]\bruch{13}{2}[/mm]x²+30x)|_(-5)^(-3)
Jetzt muss die höhere Grenze erst eingesetzt werden, der Wert mit der eingesetzten kleineren Grenze abgezogen werden:
[mm]\bruch{2}{3}[/mm](-3)³+[mm]\bruch{13}{2}[/mm](-3)²+30(-3)-([mm]\bruch{2}{3}[/mm](-5)³+[mm]\bruch{13}{2}[/mm](-5)²+30(-5))
Ausrechnen kannst du dass ja jetzt selbst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Di 11.10.2005 | | Autor: | Scrab |
Hallo, wir haben erst gerade mit Integralrechnung angefangen- daher kenn ich die die Begriffe Aufleitung etc. noch gar nicht...
> Du kannst beide Funktionen in
> ein Integral schreiben:
> [mm]\integral_{-5}^{-3}{f((x+3)^2-(-(x+5)^2)+4)dx}[/mm]
> Daraus wird in der Umformung dann:
> [mm]\integral_{-5}^{-3}{f((x²+3x+9+x²+10x+25-4)dx}[/mm]
nicht 3x sondern 6x oder?
> Jetzt muss nur noch die Stammfunktion/Aufleitung dazu
> gebildet werden, also die Umkehr zur Ableitung
> F(X): [mm]\bruch{2}{3}[/mm]x³+[mm]\bruch{13}{2}[/mm]x²+30x
SO Stop! Wieso teile ich die [mm] 2x^3 [/mm] durch 3? und die [mm] 13x^2 [/mm] durch 2?
Danke...;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:59 Di 11.10.2005 | | Autor: | Scrab |
Danke ihr beiden... ich habs sogar verstanden ;)
Liebe Grüße
Scrab
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Ganz genau! Gut aufgepasst ...
Potenzregel