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[mm] \integral_{-e}^{-1} {\bruch{2 + |x|}{x^{2}}dx}
[/mm]
Im Unterricht haben wir dieses Integral so gelöst:
Wir haben aufgeteilt auf zwei Brüche und das |x| mit einem x vom [mm] x^{2} [/mm] gekürzt, daher wird die Stammfunktion hier ln|x|, die Stammfunktion von [mm] \bruch{2}{x^{2}} [/mm] soll [mm] \bruch{-2}{|x|} [/mm] sein. Allerdings versteh ich das nicht ganz, da das doch eigentlich nichts mehr mit dem Betrag zu tun hat und die Stammfunktion von [mm] \bruch{-1}{ x^{2}} [/mm] doch eigentlich immer [mm] \bruch{1}{x} [/mm] ist.
Kann mir jemand erklären weshalb das hier so ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:51 So 17.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo magicalfay,
zunächst einmal ein herzliches ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Eine Frage hast Du ja auch bereits beantwortet hier ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]") ... !!!
> [mm]\integral_{-e}^{-1} {\bruch{2 + |x|}{x^{2}}dx}[/mm]
>
> Im Unterricht haben wir dieses Integral so gelöst:
>
> Wir haben aufgeteilt auf zwei Brüche und das |x| mit einem
> x vom [mm]x^{2}[/mm] gekürzt, daher wird die Stammfunktion hier
> ln|x|, die Stammfunktion von [mm]\bruch{2}{x^{2}}[/mm] soll
> [mm]\bruch{-2}{|x|}[/mm] sein. Allerdings versteh ich das nicht
> ganz, da das doch eigentlich nichts mehr mit dem Betrag zu
> tun hat und die Stammfunktion von [mm]\bruch{-1}{ x^{2}}[/mm] doch
> eigentlich immer [mm]\bruch{1}{x}[/mm] ist.
>
> Kann mir jemand erklären weshalb das hier so ist?
Ich versuch's mal ...
Unser Integral soll in den Grenzen von $a \ = \ -e$ bis $b \ = \ -1$ berechnet werden, also im negativen Bereich der x-Werte.
Hier gilt für die Betragsfunktion:
|x| = [mm] \begin{cases} x, & \mbox{für } x \ \ge \ 0 \mbox{} \\ -x, & \mbox{für } x \ < \ 0 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Aus unserem Integral wird also:
[mm] $\integral_{-e}^{-1} {\bruch{2 + |x|}{x^{2}} \ dx}$
[/mm]
$= \ [mm] \integral_{-e}^{-1} {\bruch{2 - x}{x^2} \ dx}$
[/mm]
$= \ [mm] \integral_{-e}^{-1} {\bruch{2}{x^2} - \bruch{x}{x^2} \ dx}$
[/mm]
$= \ [mm] \integral_{-e}^{-1} {2*x^{-2} - \bruch{1}{x} \ dx}$
[/mm]
Nun können wir ganz "normal" mit der  Potenzregel integrieren ...
$= \ [mm] \left[\bruch{2*x^{-1}}{-1} - \ln|x|\right]_{-e}^{-1} [/mm] \ = \ [mm] \left[- \bruch{2}{x} - \ln|x|\right]_{-e}^{-1}$
[/mm]
Nun noch die Grenzen einsetzen und ausrechnen ...
Deien Irritationen bei den Stammfunktionen von [mm]\bruch{-1}{ x^{2}}[/mm] und [mm]\bruch{2}{x^{2}}[/mm] kommen wohl durch die Faktoren zustande, oder?
Jedenfalls habe ich die Problematik mit den Betragsstrichen gleich zu Beginn aus dem Weg geräumt. Über die kritische Stelle [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ hinweg zu integrieren wäre sowieo nicht statthaft, da an dieser Stelle eine Definitionslücke mit Pol vorliegt.
Ich hoffe, ich konnte etwas zu Deiner Klärung beitragen ...
Gruß
Loddar
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