Integralberechnung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe ein Problem ein Integral zu berechnen die Aufgabe geht folgendermaßen:
f: [mm] \|R^{3} \to \|R^{3} [/mm] gegeben durch f(x,y,z)=(x, x+y, x+y+z). C ist die Schnittkurve des Zylinders [mm] x^{2}+y^{2}=1 [/mm] mit der Ebene y=z. Diese Kurve sei entgegen dem Uhrzeigersinn um den Zylinder orientiert. Berechnen Sie das Integral [mm] \integral_{C} [/mm] {(f*T) ds} wobei T der Einheitsrichtungsvektor an C ist.
Ich weiß überhaupt nicht wie so etwas geht und bin für jede Hilfe dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:57 Sa 23.04.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
> f: [mm]\|R^{3} \to \|R^{3}[/mm] gegeben durch f(x,y,z)=(x, x+y,
> x+y+z). C ist die Schnittkurve des Zylinders [mm]x^{2}+y^{2}=1[/mm]
> mit der Ebene y=z. Diese Kurve sei entgegen dem
> Uhrzeigersinn um den Zylinder orientiert. Berechnen Sie das
> Integral [mm]\integral_{C}[/mm] {(f*T) ds} wobei T der
> Einheitsrichtungsvektor an C ist.
im Integral sollst du nach s also der Bogenlänge integrieren.
also Zylinderkoordinaten x=cos(s), y=sin(s), z=s
Tangentialvektor an Kreis x'(s)=-sin(s), y'(s)= cos(s) z'=0
f(s)= [mm] \vektor{x \\ x+y\\x+y+z} [/mm] = [mm] \vektor{cos(s) \\ sin(s)+cos(s)\\sin(s)+cos(s)+s}
[/mm]
T(s)= [mm] \vektor{-sin(s) \\ cos(s)\\0}
[/mm]
Skalarprodukt [mm] =cos^{2}(s)
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{2\pi} {cos^{2}(s) ds} =\pi
[/mm]
also ganz einfach!
Gruss leduart
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Hallo,
erstmal vielen dank für deine Hilfe, ich habe noch ein paar fragen dazu... wenn T der Einheitsrichtungsvektor ist benutze ich dann immer die ableitung der funktion? Und gibt es eine generelle art wie man diese Aufgaben löst also gibt es dafür ein schema? Mir war nicht mal klar das (f*T) ein skalarprodukt ist aber das ergibt sich ja daraus das ich mit Vektoren rechne... aber wie fliest der schnitt mit dem Zylinder in diese aufgabe ein, also das [mm] x^{2}+y^{2}=1 [/mm] einfach nur darin das ich zylinderkoordinaten nehme?
Und wie ist das eigentlich soll der Tangentialvektor doch an der ellipse liegen und nicht am kreis muß dann nicht mit z=y auch z'=cos(s) sein?
Nochmal vielen Dank!
sternschnuppe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:27 Sa 23.04.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Danny
Die Tangente ist an den Kreis, und dafür ist z=const, z'=0. x=coss ,y=sins ist der Kreis mit dem Bogenmass parametrisiert. für den Einheitsvektor t muss man i. A. noch durch den Betrag, also durch |T|= [mm] \wurzel{x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}} [/mm] dividieren, aber der ist hier 1. Die spezielle Parametrisierung ergibt sich dadurch, dass ja nach ds integriert werden muss! und beim einheitskreis ist das grade das angegebene! Man könnte auch Kugelkoordinaten nehmen, ist aber hier unnötig kompliziert!
Gruss leduart
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Hallo,
in der aufgabenstellung steht: Diese Kurve sei entgegen dem Uhrzeigersinn um den Zylinder orientiert(man schaut von z>0 auf die Uhr) mein Professor hat gestern noch als tip gesagt das c eine ellipse sein muß wieso ist C dann jetzt ein Kreis wenn er gesagt hat das es eine Ellipse ist? das versteh ich wirklich nicht ganz ... ich finde es logisch das ein zylinder geschnitten mit einer ebene ein kreis ist aber er hat gesagt ellipse ... ich hab gerade gesehen das ich die ellipse in dem text vorher nicht noch später eingesetzt habe, tut mir leid hoffe du bist nicht böse darüber kannst du mir auch sagen wie das mit dem parametrisieren einer ellipse ist? und wie parametrisiere ich im allgemeinen? Noch mal vielen dank für deine Mühe
Danny
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:54 So 24.04.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Danny
Tut mir leid, ich hab irgendwie z=cons statt y=z gelesen. Dann ist der Schnitt wirklich eine Ellipse.
Ich versuch morgen eine Antwort, muß aber noch einen Moment überlegen und bin zu müd!
Gute Nacht leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:18 Mo 25.04.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Danny
Hab leider erst jetzt wieder Zeit.
da die Schnittebene y=z ist ist die Schnittkurve
C= [mm] \vektor{x \\ y\\z}= \vektor{cos(t)\\ sin(t)\\sin(t)}
[/mm]
C'= [mm] \vektor{-sin(t) \\cos(t)\\cos(t)}
[/mm]
Einheitstangentialvektor [mm] T=\bruch{C'}{|C'|} [/mm] mit [mm] |C'|=1-cos^{2}(t)
[/mm]
aber wegen [mm] \bruch{ds}{dt}=|C'| [/mm] kürzt sich das im Integral mit ds=|C'|dt wieder raus.
Du musst also nur das Skalarprodukt <f*C'>dt integrieren von 0 bis [mm] 2\pi.
[/mm]
f als Vektor steht in der alten Antwort, das Integral wird was länger,
[mm] \integral_{0}^{2\pi} {2*cos^{2}(t)+2*sin(t)cos(t) dt}. [/mm]
Da du nur das bestimmte Integral brauchst, benutzt du, dass über halbe oder ganze Perioden
[mm] \integral_{0}^{\pi} {cos^{2}(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\pi} {sin^{2}(x) dx}.
[/mm]
Damit:
[mm] \integral_{0}^{\pi} {cos^{2}(x)+sin^{}(x) dx}=\pi*1=2* \integral_{0}^{\pi} {cos^{2}(x) dx}
[/mm]
Der 2. Teil des Integrals ist 0. Damit hast du als Ergebnis [mm] 2*\pi
[/mm]
Hoffe, das ist nicht zu schnell, sonst frag zurück
Gruss leduart
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Hallo,
vielen dank für deine Mühe das hat mir echt geholfen und ich habs auch verstanden.
Danke!
Gruss
Danny
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