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Integralberechnung: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:39 Fr 26.12.2008
Autor: matzew611

Aufgabe
[mm] \integral_{}^{}{artanh(\wurzel{x})dx} [/mm]

[mm] \integral_{}^{}{artanh(\wurzel{x})dx} [/mm]

= 1 [mm] \integral_{}^{}{artanh(\wurzel{x})dx} [/mm]


f(x) = x, f'(x) = 1, g(x) = artanh [mm] \wurzel{x}, [/mm] g'(x) = [mm] \bruch{1}{1-x} \bruch{1}{2\wurzel{x}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{(1-x)2\wurzel{x}} [/mm]

I = x [mm] artanh\wurzel{x} [/mm] - [mm] \integral_{}^{}{x \bruch{1}{(1-x)2\wurzel{x}}dx} [/mm]


= [mm] xartanh\wurzel{x} [/mm] - [mm] \integral_{}^{}{\bruch{\wurzel{x}}{2-2x}dx} [/mm]


= [mm] xartanh\wurzel{x} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} \integral_{}^{}{\bruch{\wurzel{x}}{1-x}dx} [/mm]

Int1 = [mm] \integral_{}^{}{\bruch{\wurzel{x}}{1-x}dx} [/mm]

ist es bis dahin richtig? wie mache ich nun weiter? ich habe es mit der Substitution [mm] \wurzel{x} [/mm] = u, x = [mm] u^{2}, [/mm] dx = 2udu versucht, jedoch ohne Erfolg... ich habe dort versucht im Zähler die Ableitung vom Nenner reinzubekommen, da bleibt bei mir dann jedoch jedes mal ein produkt über..  

als Beispiel:

[mm] -\integral_{}^{}{\bruch{-2u}{1-u^{2}} u du} [/mm]

hat jemand eine Idee wie die Aufgabe zu lösen ist?

lg und frohen restlichen 2.weihnachtstag





        
Bezug
Integralberechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:09 Fr 26.12.2008
Autor: schachuzipus

Hallo Matthias,

> [mm]\integral_{}^{}{artanh(\wurzel{x})dx}[/mm]
>  [mm]\integral_{}^{}{artanh(\wurzel{x})dx}[/mm]
>  
> = 1 [mm]\integral_{}^{}{artanh(\wurzel{x})dx}[/mm]
>  
>
> f(x) = x, f'(x) = 1, g(x) = artanh [mm]\wurzel{x},[/mm] g'(x) =
> [mm]\bruch{1}{1-x} \bruch{1}{2\wurzel{x}}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{(1-x)2\wurzel{x}}[/mm]
>  
> I = x [mm]artanh\wurzel{x}[/mm] - [mm]\integral_{}^{}{x \bruch{1}{(1-x)2\wurzel{x}}dx}[/mm]
>  
>
> = [mm]xartanh\wurzel{x}[/mm] -
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{\wurzel{x}}{2-2x}dx}[/mm]
>  
>
> = [mm]xartanh\wurzel{x}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2} \integral_{}^{}{\bruch{\wurzel{x}}{1-x}dx}[/mm]

[ok]


>  
> ist es bis dahin richtig?

Ja, das sieht gut aus soweit!

> wie mache ich nun weiter? ich
> habe es mit der Substitution [mm]\wurzel{x}[/mm] = u, x = [mm]u^{2},[/mm] dx
> = 2udu versucht, jedoch ohne Erfolg... ich habe dort
> versucht im Zähler die Ableitung vom Nenner reinzubekommen,
> da bleibt bei mir dann jedoch jedes mal ein produkt über..  

Erst einmal würde ich das Minuszeichen noch aus dem Integral ziehen:

[mm] $...=x\cdot{}atanh(\sqrt{x})+\frac{1}{2}\cdot{}\int{\frac{\sqrt{x}}{x-1} \ dx}$ [/mm]

Nun schauen wir das hintere Integral näher an

Da sieht mir doch dein obiger Substitutionsansatz  [mm] $u:=\sqrt{x}$ [/mm] gut aus, oder?

Damit ist [mm] $\frac{du}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$, [/mm] also [mm] $dx=2\sqrt{x} [/mm] \ du=2u \ du$

Setzen wir das ein (bedenke [mm] $x=u^2$) [/mm]

[mm] $...=\frac{1}{2}\cdot{}\int{\frac{u}{u^2-1} \ 2u \ du}=\int{\frac{u^2}{u^2-1} \ du}=\int{\frac{u^2\red{-1+1}}{u^2-1} \ du}=\int{\left(1+\frac{1}{u^2-1}\right) \ du}=\int{1 \ du}+\int{\frac{1}{u^2-1} \ du}$ [/mm]

Für das letzte Integral mache eine Partialbruchzerlegung: [mm] $\frac{1}{u^2-1}=\frac{1}{(u+1)(u-1)}=\frac{A}{u+1}+\frac{B}{u-1}$ [/mm] ...

Dann hast du ne Summe ganz  einfacher Integrale ...


>
> als Beispiel:
>
> [mm]-\integral_{}^{}{\bruch{-2u}{1-u^{2}} u du}[/mm]

siehe oben ... ;-)

>  
> hat jemand eine Idee wie die Aufgabe zu lösen ist?
>  
> lg und frohen restlichen 2.weihnachtstag
>  

Dir auch

LG

schachuzipus


Bezug
        
Bezug
Integralberechnung: Alternative
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:57 Sa 27.12.2008
Autor: Loddar

Hallo matze!


Alternativ kannst du hier auch wie folgt vorgehen, indem du zunächst die Definition des []Areatangens Hyperbolicus sowie ein MBLogarithmusgesetz anwendest:
[mm] $$ar\tanh(z) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\ln\left(\bruch{1+z}{1-z}\right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\ln\left(1+z\right)-\bruch{1}{2}*\ln\left(1-z\right)$$ [/mm]
In Deinem Falle dann [mm] $\wurzel{x}$ [/mm] substituieren und anschließend partiell integrieren.


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Integralberechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:51 Fr 09.01.2009
Autor: matzew611

vielen dank für eure antworten :) bin bisschen spät, aber ein danke sollte noch drin sein, hatte es letztens vergessen zu schreiben :)

Bezug
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