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Integralberechnung: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:32 Fr 10.03.2006
Autor: tinamol21

Aufgabe
Berechne das Integral [mm] \int \bruch{1}{a x^2 +bx + c} [/mm]

Hallo!
Kann mir jemand einen Tipp zur Bearbeitung dieses Integrals geben? Muss ich mit der Substitutionsregel herangehen? Ich schaffe den Ansatz leider nicht, und komme daher nicht weiter!

Vielen Dank schonmal!
        
Bezug
Integralberechnung: Hammer-Aufgabe
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:53 Fr 10.03.2006
Autor: Loddar

Hallo tinamol!


Da steht in meiner Formelsammlung echt ein wirklich "nettes" Ergebnis ...


Zunächst einmal musst Du eine Fallunterscheidung machen, ob der Nenner dieses Bruches keine, eine (doppelte) oder zwei reelle Lösungen hat.


Bei zwei reellen Nullstellen [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] (Ermittlung z.B. mit MBABC-Formel oder MBp/q-Formel) steht nun eine Partialbruchzerlegung an.


Bei einer (doppelten) Nullstelle lässt sich dieser Bruch auch darstellen als [mm] $\bruch{1}{d*(x+e)^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{d}*(x+e)^{-2}$ [/mm] . Dies kann nach der MBPotenzregel integriert werden.


Bei keiner reellen Nullstelle musst Du den Bruch auf die Form [mm] $\bruch{1}{d*\left[1+(e*x+f)^2\right]}$ [/mm] bringen.

Anschließend Substitution und Lösung mit der Stammfunktion [mm] $\integral{\bruch{1}{1+z^2} \ dz} [/mm] \ = \ [mm] \arctan(z)$ [/mm] .


Gruß
Loddar

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