Integralabschätzung < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:44 Do 07.02.2008 | | Autor: | chipbit |
| Aufgabe | Zeigen Sie, daß folgende Abschätzung gilt:
[mm] \integral_{0}^{6}{\bruch{x}{x^3+16}dx}\leq \bruch{1}{2}. [/mm] Wie kann man diese Abschätzung evtl. noch verbessern? |
Hallo,
ich habe keine Ahnung wie man das macht. Kann mir das vielleicht jemand erklären bzw. dabei helfen? Ich hätte jetzt versucht das Integral auszurechnen, aber das ist anscheinend ziemlich kompliziert bzw. scheint das nicht der richtige Weg zu einer Abschätzung zu sein.
Grüße
chip
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:08 Do 07.02.2008 | | Autor: | ullim |
Hi,
ich würde von dem Integranden
f(x) = [mm] \bruch{x}{x^3+16} [/mm] das Maximum bestimmen.
Ich bekomme [mm] \bruch{1}{12} [/mm] heraus.
Somit kann das Integral abgeschätzt werden durch
[mm] \integral_{0}^{6}{f(x) dx} \le \integral_{0}^{6}{max f(x) dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Fr 08.02.2008 | | Autor: | chipbit |
> Hi,
>
> ich würde von dem Integranden
>
> f(x) = [mm]\bruch{x}{x^3+16}[/mm] das Maximum bestimmen.
>
> Ich bekomme [mm]\bruch{1}{12}[/mm] heraus.
Klingt vielleicht doof, aber könntest du mir bitte zeigen wie du das gemacht hast, ich krieg das irgendwie nicht hin.
> Somit kann das Integral abgeschätzt werden durch
>
> [mm]\integral_{0}^{6}{f(x) dx} \le \integral_{0}^{6}{max f(x) dx}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
Wenn dein Maximum [mm] \bruch{1}{12} [/mm] ist, dann ist doch aber das Integral von dem Maximum nicht [mm] =\bruch{1}{2}? [/mm] Oder habe ich das jetzt falsch verstanden.
Ich bin ein wenig verwirrt, obwohl ich im Grundsatz, glaube ich, verstanden habe was du gemacht hast.
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Hallo chipbit!
> Klingt vielleicht doof, aber könntest du mir bitte zeigen
> wie du das gemacht hast, ich krieg das irgendwie nicht hin.
Wie lautet denn Deine Ableitung der o.g. Funktion?
> Wenn dein Maximum [mm]\bruch{1}{12}[/mm] ist, dann ist doch aber das
> Integral von dem Maximum nicht [mm]=\bruch{1}{2}?[/mm] Oder habe ich
> das jetzt falsch verstanden.
Es wird hier mit einer Rechteckfläche verglichen mit einer Breite von $b \ = \ 6-0 \ = \ 6$ und der Höhe $h \ = \ [mm] y_{\max} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{12}$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:04 Fr 08.02.2008 | | Autor: | chipbit |
> Wie lautet denn Deine Ableitung der o.g. Funktion?
Also, ich habe nach der Quotientenregel abgeleitet, oder sagt man gelitten??, wie auch immer, als Ergebnis habe ich da
f'(x)= [mm] \bruch{-2x^3+16}{(x^3+16)^2}
[/mm]
mmmhh, ich weiß nich ob ich das richtig vereinfacht habe, aber da würde bei mir dann = [mm] \bruch{-1}{x^3+16} [/mm] rauskommen.
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Hallo chipbit!
Deine Ableitung ist absolut richtig! Aber das kann man nich mehr weiter umformen / zusammenfassen.
Ich ahne bzw. befürchte, dass Du hier aus einer Summe gekürzt hast. ![[eek]](/images/smileys/eek.gif "[eek]")
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:22 Fr 08.02.2008 | | Autor: | chipbit |
NEIN! Ich würde nie aus einer Summe kürzen! Zumindest nicht offensichtlich.
Ich dachte man könne im Zähler [mm] (x^3+16) [/mm] ausklammern, scheint dann aber nich zu funktionieren, war mir fast schon klar *schäm*
Edit: Danke Roadrunner für die Hilfe, ich hab meinen Fehler eingesehen 
Und dank der zusätzlichen Hilfe von Gogeta auch bestätigt bekommen, dass ich das jetzt verstanden habe.
Grüße
chip
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Wenn du für die Ableitung $ [mm] \bruch{-2x^3+16}{(x^3+16)^2} [/mm] $,
musst du nur noch diese gleich null setzen.
Also hast du [mm] -2x^3+16=0 [/mm] (da der nenner nicht gleich null ist).
Damit auflösen ergibt x=2 mit einfachem Vorzeichenwechsel==> [mm] f_{max}=f(2)=1/12 [/mm] (eine konstante zahl)
Das integral über eine konstante zahl c mit den grenzen (a;b) ist aber gleich c(b-a)
dein c ist 1/12 und b-a=6 also ist das integral kleiner als 1/2.
Verbessern kannst du die Abschätzung, dass integral aufteilst, in [mm] \integral_{0}^{3}{f(x) dx} +\integral_{3}^{6}{f(x) dx} [/mm] und jetzt die einzelnen integranden wieder einzeln abschätzst (nach dem Maximum)
Allgemein kannst du die Abschätzung unendlich genau machen indem du das integral noch feiner einteils.
Ich hoffe ich konnte dir jetzt weiterhelfen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:25 Fr 08.02.2008 | | Autor: | chipbit |
ah super, Danke!! ![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]")
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