Integral zu verketteter e-Funk < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:18 Di 24.10.2023 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Die Funktion w(t) = [mm] 6*e^{-\bruch{1}{30}*(t-4)^2} [/mm]
soll im Intervall [0;10] integriert werden.
Dabei gibt w(t) die Wachstumsrate eines Baumes in Jahrzehnten an.
Die Anfangshöhe des Baumes ist 0,5 m.
Wie hoch ist der Baum nach 100 Jahren? |
Moin Moin,
ich habe eine Frage zur Integration einer verketteten e-Funktion.
Zum Ergebnis der Integralrechnung muss ich am Ende noch 0,5 m addieren. Wir hier aber vernachlässigt.
W(t) = [mm] \integral_{0}^{10}{(6*e^{-\bruch{1}{30}*(t-4)^2}) dt}
[/mm]
=> W(t) = [mm] 6*\integral_{0}^{10}{(e^{-\bruch{1}{30}*(t-4)^2}) dt}
[/mm]
Da es sich um eine verkettete Funktion handelt
t - > [mm] -\bruch{1}{30}*(t-4)^2 [/mm] = i(t) - > [mm] e^i [/mm] = a(i(t))
i ' = [mm] -\bruch{1}{30}*2*(t-4) [/mm]
W(t) = [mm] A(i(t))*\bruch{1}{i '} [/mm] um die innere Ableitung "auszugleichen"
W(t) = [mm] 6*e^{-\bruch{1}{30}*(t-4)^2}*\bruch{1}{-\bruch{1}{30}*2*(t-4)} [/mm]
Dies führt leider nicht zu einem richtigen Ergebnis, da eine negative Baumhöhe dabei herauskommt:
W(10) - W(0) = -4,52-13,2 = -17,72 m
Wo ist der Fehler???
Danke & Gruß!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:22 Di 24.10.2023 | | Autor: | statler |
Guten Abend!
> Die Funktion w(t) = [mm]6*e^{-\bruch{1}{30}*(t-4)^2}[/mm]
>
> soll im Intervall [0;10] integriert werden.
>
> Dabei gibt w(t) die Wachstumsrate eines Baumes in
> Jahrzehnten an.
>
> Die Anfangshöhe des Baumes ist 0,5 m.
>
> Wie hoch ist der Baum nach 100 Jahren?
> Moin Moin,
>
> ich habe eine Frage zur Integration einer verketteten
> e-Funktion.
>
> Zum Ergebnis der Integralrechnung muss ich am Ende noch 0,5
> m addieren. Wir hier aber vernachlässigt.
>
>
> W(t) = [mm]\integral_{0}^{10}{(6*e^{-\bruch{1}{30}*(t-4)^2}) dt}[/mm]
Das ist nicht W(t), sondern W(10) - W(0).
>
> => W(t) =
> [mm]6*\integral_{0}^{10}{(e^{-\bruch{1}{30}*(t-4)^2}) dt}[/mm]
>
>
> Da es sich um eine verkettete Funktion handelt
>
> t - > [mm]-\bruch{1}{30}*(t-4)^2[/mm] = i(t) - > [mm]e^i[/mm] = a(i(t))
>
>
> i ' = [mm]-\bruch{1}{30}*2*(t-4)[/mm]
>
>
> W(t) = [mm]A(i(t))*\bruch{1}{i '}[/mm] um die innere
> Ableitung "auszugleichen"
>
>
> W(t) =
> [mm]6*e^{-\bruch{1}{30}*(t-4)^2}*\bruch{1}{-\bruch{1}{30}*2*(t-4)}[/mm]
>
>
> Dies führt leider nicht zu einem richtigen Ergebnis, da
> eine negative Baumhöhe dabei herauskommt:
>
> W(10) - W(0) = -4,52-13,2 = -17,72 m
>
>
> Wo ist der Fehler???
Der Fehler liegt darin, daß du annimmst, daß eine Stammfunktion von [mm] e^{f(x)} [/mm] durch [mm] (1/f'(x))*e^{f(x)} [/mm] gegeben ist. Das stimmt aber nicht, wie du durch eine Probe mit der Produktregel sofort erkennst.
Jetzt könntest du mit partieller Integration oder Substitution herumprobieren, aber ...
... wenn du w(t) genau analysierst, erkennst du vielleicht eine strukturelle Ähnlichkeit mit der Dichte der Normalverteilung.
Soweit erstmal
Dieter
Nachtrag: Ich komme auf eine Höhe von 45,93 + 0,5 = 46,43 [m].
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