Integral von Gauß-Radial-Fkt < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:42 Do 07.10.2010 | | Autor: | BJJ |
Hallo,
ich würde gerne wissen, ob mein Ergebnis korrekt ist.
[mm]\integral a\cdot exp(-\frac{1}{2}((x-\mu)^t\Sigma^{-1}(x-\mu)) dx = \frac{a}{(2\pi)^{n/2}|\Sigma|^{1/2}}[/mm]
Das Integral wird dabei über den [mm]\IR^n[/mm] genommen.
Dnake und beste Grüße
bjj
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:18 Fr 08.10.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> ich würde gerne wissen, ob mein Ergebnis korrekt ist.
>
> [mm]\integral a\cdot exp(-\frac{1}{2}((x-\mu)^t\Sigma^{-1}(x-\mu)) dx = \frac{a}{(2\pi)^{n/2}|\Sigma|^{1/2}}[/mm]
>
> Das Integral wird dabei über den [mm]\IR^n[/mm] genommen.
Unter der Annahme, dass [mm] $\Sigma^{-1}$ [/mm] eine positiv definite konstante [mm] $n\times [/mm] n$-Matrix ist, bekomme ich
[mm] \bruch{a (2\pi)^{n/2}}{|\Sigma^{-1}|^{1/2}} [/mm] .
Ist die Matrix nicht positiv definit, dann divergiert das Integral.
NACHTRAG: Der Integrand ist eine symmetrische Bilinearform, daher ist [mm] $\Sigma^{-1}$ [/mm] o.B.d.A. symmetrisch und hat nur reelle Eigenwerte. Wäre [mm] $\Sigma^{-1}$ [/mm] nicht symmetrisch, so würde sowieso nur der symmetrische Anteil
[mm] $\bruch{1}{2}\left(\Sigma^{-1} + (\Sigma^{-1})^t\right)$
[/mm]
beitragen.
Viele Grüße
Rainer
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