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Forum "Integration" - Integral von 1(x^2+x+1)
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Integral von 1(x^2+x+1): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:14 Sa 10.05.2008
Autor: Merle23

Ich soll eine Differenzialgleichung lösen und bin zu dem Punkt gekommen, wo ich das folgende Integral lösen muss.

[mm] \integral_{a}^{\mu(t)}{\bruch{dz}{z^2+z+1}} [/mm]

Partialbruchzerlegung geht ja nicht, da man keine Nullstellen hat. Substitution mit w:=z+1 brachte mich auch nur auf [mm] \bruch{dw}{w^2-w+1} [/mm] und eine recht große Integraltabelle konnte auch nicht helfen.

Danke im Vorraus.

        
Bezug
Integral von 1(x^2+x+1): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:22 Sa 10.05.2008
Autor: leduart

Hallo
das Polynom im Nenner in [mm] (z+a)^2+b [/mm] umschreiben, dann  b ausklammern, und [mm] (z+a)/\wurzel{b}=w [/mm] substituieren.
Gruss leduart

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Integral von 1(x^2+x+1): Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:57 Sa 10.05.2008
Autor: Merle23

Wow... ging ja schnell ^^ Danke, jetzt hab ich's.

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Integral von 1(x^2+x+1): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:01 Sa 10.05.2008
Autor: Maggons

Huhu

Aus reinem Interesse hab ich das ganze auch mal versucht zu rechnen; bin aber leider zu keinem gescheiten Ende gekommen.

Deinen Tipps folgend, rechnete ich folgendes:

[mm] \integral{\bruch{dz}{z^2+z+1}} [/mm] = [mm] \integral{\bruch{dz}{(z+\bruch{1}{2})^{2}+\bruch{3}{4}}} [/mm]

w:= [mm] \bruch{z+\bruch{1}{2}}{\wurzel{\bruch{3}{4}}} [/mm]

w' = [mm] \bruch{dw}{dz} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{\bruch{3}{4}}} [/mm] <=> dz= [mm] dw*\wurzel{\bruch{3}{4}} [/mm]


<=> [mm] \integral{\bruch{dw}{\wurzel{\bruch{3}{4}}+\wurzel{\bruch{3}{4}} * w^{2}}} [/mm]


Also irgendwo hab ich hier nen klaren Denkfehler oder sonstiges drin; wäre sehr dankbar, falls mir mal jemand ein wenig auf die Sprünge helfen könnte.

Lg

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Integral von 1(x^2+x+1): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:12 Sa 10.05.2008
Autor: koepper

Hallo,

klammere jetzt noch [mm] $\sqrt{3/4}$ [/mm] im Nenner aus.
Eine Stammfunktion von $f(x) = [mm] \frac{1}{1 + x^2}$ [/mm] ist $F(x) = [mm] \arctan [/mm] x.$

LG
Will

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Bezug
Integral von 1(x^2+x+1): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:26 Sa 10.05.2008
Autor: Maggons

Ok, also einfach sagen:

[mm] \integral{\bruch{dw}{\wurzel{\bruch{3}{4}}+\wurzel{\bruch{3}{4}} \cdot{} w^{2}}} [/mm]

=

[mm] \bruch{1}{\wurzel{\bruch{3}{4}}} [/mm] * [mm] \integral{\bruch{dw}{1+w^{2}}} [/mm]

= [mm] \bruch{arctan w}{\wurzel{\bruch{3}{4}} } [/mm]

= [mm] \bruch{arctan( \bruch{z+\bruch{1}{2}}{\wurzel{\bruch{3}{4}}})}{\wurzel{\bruch{3}{4}}} [/mm]

Gehe davon aus, und hoffe einfach mal, dass das so nun stimmt.

Ciao, lieben Dank und schönen Tag noch :)


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