Integral von-unendl bis+unendl < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:08 Mo 08.02.2010 | | Autor: | Nickles |
Hi,
soll folgendes Integral bestimmen
$ [mm] \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} \mathrm [/mm] dx $
Wie gehe ich denn da am besten vor? Substitution?
Gruß
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> Hi,
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> soll folgendes Integral bestimmen
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> [mm]\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} \mathrm dx[/mm]
>
> Wie gehe ich denn da am besten vor? Substitution?
>
>
> Gruß
hallo, da haste dir ja was feines ausgesucht. 
versuch das mal
http://wwwg.uni-klu.ac.at/stochastik.schule/1991-00_abstracts/Beitraege/1996-2_watkins.pdf
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:32 Mo 08.02.2010 | | Autor: | Nickles |
oh..spitze ;)
Ich Wähle jetzt einfach mal die Version mit den Polarkoordinaten und frage dazu , warum ist bei $ I = [mm] \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \mathrmd [/mm] dx\ [mm] \rightarrow I^2 [/mm] = [mm] \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x^2 + y^2)}\ \mathrm [/mm] dx\ [mm] \mathrm [/mm] dy $ ?
Grüße, und eigentlich n interessanter Artikel!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:39 Mo 08.02.2010 | | Autor: | fred97 |
Ist $Q = [a,b] [mm] \times [/mm] [a,b]$ und sind $f,g : [mm] \to \IR$ [/mm] integrierbar, so gilt:
[mm] $\integral_{Q}^{}{f(x)g(y) d(x,y)}= (\integral_{a}^{b}{f(x) dx})*(\integral_{a}^{b}{g(y) dy})$
[/mm]
Ist $f=g$, so folgt:
[mm] $\integral_{Q}^{}{f(x)f(y) d(x,y)}= (\integral_{a}^{b}{f(x) dx})^2$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:07 Mo 08.02.2010 | | Autor: | Nickles |
Also so?
$ I = [mm] \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \mathrm [/mm] dx\ [mm] \rightarrow\ I^2 [/mm] = [mm] \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} [/mm] * [mm] e^{-x^2} \mathrm [/mm] dx\ [mm] \text{ und wenn ich annehme das x=y } I^2 [/mm] = [mm] \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} [/mm] * [mm] e^{-y^2}\ \mathrm [/mm] dx [mm] \mathrmdy\ \rightarrow I^2 [/mm] = [mm] \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x^2 +y^2)}\ \mathrm [/mm] dx [mm] \mathrm [/mm] dy $ Muss ich also annehmen das y = x ? Macht man das so? Ist ja nicht in der Aufgabenstellung enthalten 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:17 Mo 08.02.2010 | | Autor: | pelzig |
> [mm]I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \mathrm dx\ \rightarrow\ I^2 = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} * e^{-x^2} \mathrm dx\ \text{ und wenn ich annehme das x=y } I^2 = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} * e^{-y^2}\ \mathrm dx \mathrmdy\ \rightarrow I^2 = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x^2 +y^2)}\ \mathrm dx \mathrm dy[/mm]
> Muss ich also annehmen das y = x ? Macht man das so?
Nein, [mm] $$I^2=\left(\int_\IR e^{-x^2}\ dx\right)\cdot\left(\int_\IR e^{-y^2}\ dy\right)=\int_\IR\left(\int_\IR e^{-x^2}\ dx\right)\cdot e^{-y^2}\ dy=\int_\IR\left(\int_\IR e^{-x^2}e^{-y^2}\ dx\right)\ dy=\int_{\IR^2}e^{-x^2-y^2}\ [/mm] d(x,y)$$ die letzte Gleichheit ist der Satz von Fubini.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 Mo 08.02.2010 | | Autor: | Nickles |
Mhmm sorry jetzt steh ich auf dem Schlauch...
Auf was hast du das bezogen? Auf das "Macht man das immer so? " oder auf meine komplette Rechnung..weil wenn meine Idee mit $ [mm] I^2 [/mm] = [mm] \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \cdot{} e^{-x^2} \mathrm [/mm] dx [mm] \rightarrow I^2 [/mm] = [mm] \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \cdot{} e^{-y^2} \mathrm [/mm] dx [mm] \mathrm [/mm] dy $ nicht zutrifft versteh ich leider immer noch nocht wie man von dem $ [mm] e^{-x^2} [/mm] $ auf $ [mm] \int_{\infty}^{\infty} e^{-(x^2+y^2)} [/mm] $ kommt
Ich versteh schon wie man die "zusammenfasst" zu einem Integral , aber woher kommt das y?da liegt mein Problem.
Grüße
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Hallo,
> Mhmm sorry jetzt steh ich auf dem Schlauch...
> Auf was hast du das bezogen? Auf das "Macht man das immer
> so? " oder auf meine komplette Rechnung..weil wenn meine
> Idee mit [mm]I^2 = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \cdot{} e^{-x^2} \mathrm dx \rightarrow I^2 = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \cdot{} e^{-y^2} \mathrm dx \mathrm dy[/mm]
> nicht zutrifft versteh ich leider immer noch nocht wie man
> von dem [mm]e^{-x^2}[/mm] auf [mm]\int_{\infty}^{\infty} e^{-(x^2+y^2)}[/mm]
> kommt
> Ich versteh schon wie man die "zusammenfasst" zu einem
> Integral , aber woher kommt das y?da liegt mein Problem.
Setze in pelzig's Post vor den ersten Schritt noch den Ausdruck:
[mm] $I^{2} [/mm] = [mm] \left(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}} dx\right)^{2} [/mm] = [mm] \left(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}} dx\right)*\left(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}} dx\right)$
[/mm]
Und genau an dieser Stelle wird jetzt das x im rechten Integral einfach zu einem y gemacht, weil die beiden Integrationen in dem Produkt ja grundsätzlich erstmal völlig unabhängig voneinander sind.
Wenn du sie dann aber zusammenziehen willst (in ein Integral), musst du die eine Integrationsvariable natürlich umbenennen.
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:47 Mo 08.02.2010 | | Autor: | abakus |
> Hi,
>
> soll folgendes Integral bestimmen
>
> [mm]\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} \mathrm dx[/mm]
>
> Wie gehe ich denn da am besten vor? Substitution?
>
>
> Gruß
Hallo,
darf man als bekannt verwenden, dass das Integral der Dichtefunktion einer Standardnormalverteilung 1 ist?
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:10 Mo 08.02.2010 | | Autor: | Nickles |
Wenn das so ist und man es sich nicht kompliziert herleiten muss: JA! (Also wenn das so ein "feststehendes" Wissen ist wie , [mm] (cos^2 [/mm] + [mm] sin^2 [/mm] = 1) ;) )
Hab ich bestimmt irgendwann letztes Jahr in Statistik gehört, leider alles schon wieder von anderem Krams verdrängt worden.
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Vielleicht hilft dir mein Angang etwas weiter. Habe dort keine Polarkoordinaten gewählt, sondern bin möglichst anschaulich vorgegangen.
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: doc) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:50 Mo 08.02.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo,
> soll folgendes Integral bestimmen
>
> [mm]\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} \mathrm dx[/mm]
in einem anderen Thread wurde ![[]](/images/popup.gif) ein interessanter Link dazu gepostet.
LG Felix
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