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| Aufgabe | 1)zeigen sie, [mm] \integral_{0}^{1}{x^{x} dx}= \summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}*\frac{1}{k^{k}}
[/mm]
2) Bestimmen sie den Wert der Reihe bis auf einen Fehler [mm] 10^{-4} [/mm] |
Hey
ich habe ein paar Probleme mit dieser Aufgabe.
1) hier habe ich versucht, den Satz anzuwenden, der besagt, dass
[mm] \integral_{0}^{T}{f(x) dx}= \summe_{k=0}^{\infty}\frac{a_{k}}{k+1}*T^{k+1} [/mm] für |T|< der Potenzradius der Reihe
auf unser Beispiel angewendet, erhalte ich dann:
[mm] \integral_{0}^{1}{x^{x} dx}=\summe_{k=0}^{\infty}\frac{a_{k}}{k+1}*1^{k+1}
[/mm]
aber hier weiß ich dann wiederum nicht mehr genau wie ich weiter umformen kann, so dass ich die gewünschte Reihe erhalte..
2) wie kann man den (Grenz-)Wert der Reihe bestimmen? Das funtioniert doch eigentlich nur über Umwandlung in die Geometrische Reihe oder?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:20 So 01.06.2014 | | Autor: | hippias |
> 1)zeigen sie, [mm]\integral_{0}^{1}{x^{x} dx}= \summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}*\frac{1}{k^{k}}[/mm]
>
> 2) Bestimmen sie den Wert der Reihe bis auf einen Fehler
> [mm]10^{-4}[/mm]
> Hey
> ich habe ein paar Probleme mit dieser Aufgabe.
> 1) hier habe ich versucht, den Satz anzuwenden, der
> besagt, dass
> [mm]\integral_{0}^{T}{f(x) dx}= \summe_{k=0}^{\infty}\frac{a_{k}}{k+1}*T^{k+1}[/mm]
> für |T|< der Potenzradius der Reihe
O.K.
>
> auf unser Beispiel angewendet, erhalte ich dann:
> [mm]\integral_{0}^{1}{x^{x} dx}=\summe_{k=0}^{\infty}\frac{a_{k}}{k+1}*1^{k+1}[/mm]
>
>
> aber hier weiß ich dann wiederum nicht mehr genau wie ich
> weiter umformen kann, so dass ich die gewünschte Reihe
> erhalte..
Schau doch bitte in Deinem Skript nach, welche Bedeutung die [mm] $a_{k}$ [/mm] haben.
>
> 2) wie kann man den (Grenz-)Wert der Reihe bestimmen? Das
> funtioniert doch eigentlich nur über Umwandlung in die
> Geometrische Reihe oder?
Nein. Wenn Du die [mm] $a_{k}$ [/mm] der Potenzreihe kennst, kannst Du der Reihe nach die Glieder der Reihe berechnen und aufsummieren.
>
>
> LG
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Hey
erstmal danke für die Antwort
> Schau doch bitte in Deinem Skript nach, welche Bedeutung
> die [mm]a_{k}[/mm] haben.
genau das ist mein Problem. in den Script steht nichts weiter über die [mm] a_{k} [/mm] s als das f(x)= [mm] \sum_{}a_{k}*x^{k} [/mm] eine Potenzreihe sei..
ich weiß aber lieder nicht genau, wie ich die [mm] a_{k}s [/mm] in diesem Fall ersetzen kann :-(
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:32 So 01.06.2014 | | Autor: | hippias |
> Hey
> erstmal danke für die Antwort
>
>
> > Schau doch bitte in Deinem Skript nach, welche Bedeutung
> > die [mm]a_{k}[/mm] haben.
>
> genau das ist mein Problem. in den Script steht nichts
> weiter über die [mm]a_{k}[/mm] s als das f(x)= [mm]\sum_{}a_{k}*x^{k}[/mm]
> eine Potenzreihe sei..
Ja, also entwickle deine Funktion in eine Potenzreihe.
> ich weiß aber lieder nicht genau, wie ich die [mm]a_{k}s[/mm] in
> diesem Fall ersetzen kann :-(
> LG
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Hey
aber wie genau kann das gehen?
wie kann den eine Funktion mit [mm] f8x)=x^{x} [/mm] zu einer Potenzreihe mit [mm] \sum_{}a_{k}*x^{k} [/mm] werden?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:10 So 01.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hey
> aber wie genau kann das gehen?
> wie kann den eine Funktion mit [mm]f8x)=x^{x}[/mm] zu einer
> Potenzreihe mit [mm]\sum_{}a_{k}*x^{k}[/mm] werden?
Gar nicht, denn [mm] x^x=e^{x*ln(x)} [/mm] ist nur für x>0 definiert.
FRED
>
>
> LG
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Hey
okay danke. dann muss ich den Ansatz wohl verwerfen. Wie kann ich dann die obige Gleichung beweisen?
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:41 Mo 02.06.2014 | | Autor: | LinaWeber |
Hey
kann vielleicht jemand den Fälligkeitszeitpunkt zu 10h verändern?
Danke!
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:11 Mo 02.06.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Hey
> kann vielleicht jemand den Fälligkeitszeitpunkt zu 10h
> verändern?
> Danke!
Ja klar. So gut?
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:52 Mo 02.06.2014 | | Autor: | LinaWeber |
super danke!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Di 03.06.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Verwende die Exponentialreihe: [mm]x^x = \operatorname{e}^{x \cdot \ln x} = 1 + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k (\ln x)^k}{k!} \, , \ \ 0 \leq x \leq 1[/mm]
Für [mm]x=0[/mm] sind [mm]x^x[/mm] mit dem Wert 1 und die Glieder der Reihe mit dem Wert 0 stetig zu ergänzen. Gliedweise Integration führt auf die Integrale
[mm]\alpha_k = \int_0^1 \frac{x^k (\ln x)^k}{k!} ~ \mathrm{d}x \, , \ k \geq 1[/mm]
Zeige nun für ganze Zahlen [mm]j,k[/mm] mit [mm]1 \leq j \leq k[/mm] mittels partieller Integration
[mm]\int_0^1 x^k (\ln x)^j ~ \mathrm{d}x = - \frac{j}{k+1} \int_0^1 x^k (\ln x)^{j-1} ~ \mathrm{d}x[/mm]
Eine mehrfache Anwendung dieser Formel erlaubt die Berechnung der [mm]\alpha_k[/mm].
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