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Forum "Uni-Analysis" - Integral über zwei Zylinder
Integral über zwei Zylinder < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Integral über zwei Zylinder: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:38 Sa 07.01.2006
Autor: K-D

Hallo,

ich soll das Schnittvolumen von zwei Zylinder berechnen die sich senkrecht treffen. Beide Zylinder haben den gleichen Radius r und sind gegeben durch:

{(x,y,z)| x²+y²<=r²} und {(x,y,z)| x²+z²<=r²}

Ich habe mir jetzt folgendes Integral überlegt:

[mm] 4*\integral_{0}^{r} [/mm] { [mm] \integral_{0}^{ \wurzel{r²-x²}} [/mm] { [mm] \integral_{0}^{ \wurzel{r²-y²}} [/mm] {1 dz} dy} dx}


Als Lösung habe ich dann dafür berechnet:

[mm] \bruch{1}{6}*r^4 [/mm]


Stimmt das??

Grüße,

k-d

        
Bezug
Integral über zwei Zylinder: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:14 Sa 07.01.2006
Autor: Leopold_Gast

Das kann schon aus Dimensionsgründen nicht stimmen, denn mit [mm]r^4[/mm] bist du ja in der vierten Dimension. Vielmehr erhält man für das Volumen des Schnittkörpers [mm]S[/mm]:

[mm]V(S) = \int_{-r}^r~\int_{- \sqrt{r^2 - z^2}}^{\sqrt{r^2 - z^2}}~\int_{-\sqrt{r^2 - z^2}}^{\sqrt{r^2 - z^2}}~~\mathrm{d}x~\mathrm{d}y~\mathrm{d}z \ = \ 8 \int_0^r~\int_0^{\sqrt{r^2 - z^2}}~\int_{0}^{\sqrt{r^2 - z^2}}~~\mathrm{d}x~\mathrm{d}y~\mathrm{d}z[/mm]

Hierbei setze ich voraus, daß die [mm]x[/mm]- und die [mm]y[/mm]-Achse die Rotationsachsen der jeweiligen Zylinder sind. Beachte, daß die Integrationsgrenzen der inneren Integrale nur von der äußersten Integrationsvariable (bei mir [mm]z[/mm]) abhängig sind.

Das Ganze geht auch anschaulich (siehe auch diesen Strang).

[Dateianhang nicht öffentlich]

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
Integral über zwei Zylinder: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 11:54 So 17.12.2006
Autor: Kirsche

Hi,

warum die Integralgrenzen so sind, habe ich verstanden, aber mir ist noch nicht ganz klar, wieso nun über 1 integriert wird. Könnte mir da jemand einen Tipp geben?

Liebe Grüße

Bezug
                        
Bezug
Integral über zwei Zylinder: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:20 Di 19.12.2006
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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