Integral über einer Menge < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:45 Do 16.12.2010 | | Autor: | etoxxl |
| Aufgabe | Sei M:={(x,y) [mm] \in \IR^2 [/mm] | x>y>0}
[mm] Zeige:\integral_{M}^{}{x e^{-\bruch{x^2+y^2}{2}d\lambda^2}=\bruch{\wurzel(\pi)}{2}} [/mm] |
Hallo,
bei der Menge M handelt es sich um die Fläche im ersten Quadranten, die zwischen der erste Winkelhalbierenden und der x-Achse eingeschlossen ist.
Wenn ich über diese Fläche intergrieren will, dann intergrieren für x von 0 bis [mm] \infty [/mm] und für y über den Winkel 0 bis 45°.
Damit ergibt sich mit:
[mm] x=rcos(\phi)
[/mm]
[mm] y=rsin(\phi)
[/mm]
[mm] \integral_{M}^{}{ xe^{ - \bruch{x^2+y^2}{2}} d\lambda^2 }=\integral_{0}^{ \bruch{\pi}{4} }{ \integral_{0}^{\infty}{rcos(\phi) e^{\bruch{-r^2}{2}} r dr}d\phi} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{4}}{\integral_{0}^{\infty}{r^2cos(\phi) e^{\bruch{-r^2}{2}} dr}d\phi}
[/mm]
Wenn ich versuche nach r zu intergrieren mit Substitution dann klappt das nicht wegen dem [mm] r^2 [/mm] vorne
Auch wenn ich erst nach [mm] \phi [/mm] intergriere kommt Quatsch raus.
Wahrscheinlich habe ich schon in den angegebenen Schritten einen Fehler.
Wenn jemand diesen sieht oder mir einen Tipp zum Intergrieren geben kann, wäre das super!
Gruß etoxxl
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Hallo,
ein Integral der Form
[mm] $\int x^2e^{-x^2} [/mm] dx$ kannst du lösen, indem du schreibst: [mm] $\int x\red{ \; \cdot} \;xe^{-x^2} [/mm] dx$ und nun partielle Integration anwendest. Dabei den Faktor mit der e-Funktion integrieren (z.B. mit Substitution oder durch scharfes hingucken)!
Gruß Patrick
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