Integral über Treppenfunktione < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:13 Mo 28.04.2008 | | Autor: | SpoOny |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Ich soll ein ähnliche Aufgabe auf die hier beschriebene Art lösen.
ich hänge nun an der Stelle wo max { [mm] |(\bruch{k-1}{n} b)^{2} [/mm] - [mm] (\bruch{k}{n} b)^{2}| [/mm] } bestimmt werden soll. wieso ist das gleich [mm] b^{2}-(\bruch{n-1}{n} b)^{2}
[/mm]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo SpoOny,
> ![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") [Bild Nr. 1 (fehlt/gelöscht)]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Ich soll ein ähnliche Aufgabe auf die hier beschriebene
> Art lösen.
>
> ich hänge nun an der Stelle wo max { [mm]|(\bruch{k-1}{n} b)^{2}[/mm]
> - [mm](\bruch{k}{n} b)^{2}|[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} bestimmt werden soll. wieso ist
> das gleich [mm]b^{2}-(\bruch{n-1}{n} b)^{2}[/mm]
Weil hier das Maximum über alle k von 0 bis n bestimmt wird.
Deshalb gilt:
[mm]{max}{\vmat{\left(\bruch{k-1}{n}b\right)^{2}-\left(\bruch{k}{n}b\right)^{2}}=\bruch{1}{n^ {2}}*b^{2}*{max}{\vmat{\left(k-1\right)^{2}-k^{2}}[/mm]
[mm]=\bruch{n^{2}}{n^ {2}}*b^{2}-\bruch{\left(n-1\right)^{2}}{n^ {2}}*b^{2}=b^{2}-\bruch{\left(n-1\right)^{2}}{n^ {2}}*b^{2}[/mm]
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:18 Mo 28.04.2008 | | Autor: | SpoOny |
| Aufgabe | b > 0 [mm] \integral_{1}^{b}{\bruch{1}{x}dx} [/mm] soll bestimmt werden mit
[mm] Z_{n}= [/mm] { [mm] 1 |
danke für die Antwort, wie man dahin kommt kann ich jetzt nachvollziehen.
ich versuch diese Aufgaben jetzt analog zu machen und will dabei verstehen wie man das Intergral auf diese Art berechnet.
ich wähle also für x [mm] \in [b^{\bruch{k-1}{n}}, b^{\bruch{k}{n}}] [/mm]
[mm] p_{n}(x)=\bruch{1}{b^{\bruch{k}{n}}} [/mm] und [mm] p_{n}(b)=\bruch{1}{b}
[/mm]
wobei,so wie ich verstanden habe, für [mm] p_{n}(x) [/mm] nichts gefordet wird, ich also auch irgendwas anderes wählen könnte.
[mm] p_{n} [/mm] ist dabei ein Element meiner Treppenfunktion.
Nun will ich überprüfen ob [mm] p_{n} [/mm] eine approximierende Treppenfunktion ist, indem ich gucke ob
[mm] ||f-p_{n}|| \to0 [/mm] für [mm] n\to \infty
[/mm]
Diesen Schritt kann ich irgendwie immer noch nicht ganz nachvollziehen
[mm] ||f-p_{n}|| [/mm] = max { [mm] b^{\bruch{1}{\bruch{k-1}{n}}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{b^{\bruch{k}{n}}} [/mm] , k=1,...,n }
ich sehe darin, dass [mm] f=b^{\bruch{1}{\bruch{k-1}{n}}} [/mm] aber das ist ja nicht korrekt.
Wie ist das Einsetzen der gegeben/gewählten Werte in [mm] ||f-p_{n}|| [/mm] zu verstehen ?
Hab ich für [mm] p_{n} [/mm] was falsches gewählt? Wie überleg ich mir was ich wähle?
Gruß
SpoOny
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Hallo SpoOny,
> b > 0 [mm]\integral_{1}^{b}{\bruch{1}{x}dx}[/mm] soll bestimmt
> werden mit
>
> [mm]Z_{n}=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{
> [mm]1Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> }
> danke für die Antwort, wie man dahin kommt kann ich jetzt
> nachvollziehen.
>
>
> ich versuch diese Aufgaben jetzt analog zu machen und will
> dabei verstehen wie man das Intergral auf diese Art
> berechnet.
>
> ich wähle also für x [mm]\in [b^{\bruch{k-1}{n}}, b^{\bruch{k}{n}}][/mm]
> [mm]p_{n}(x)=\bruch{1}{b^{\bruch{k}{n}}}[/mm] und
> [mm]p_{n}(b)=\bruch{1}{b}[/mm]
>
> wobei,so wie ich verstanden habe, für [mm]p_{n}(x)[/mm] nichts
> gefordet wird, ich also auch irgendwas anderes wählen
> könnte.
>
> [mm]p_{n}[/mm] ist dabei ein Element meiner Treppenfunktion.
>
> Nun will ich überprüfen ob [mm]p_{n}[/mm] eine approximierende
> Treppenfunktion ist, indem ich gucke ob
> [mm]||f-p_{n}|| \to0[/mm] für [mm]n\to \infty[/mm]
>
>
> Diesen Schritt kann ich irgendwie immer noch nicht ganz
> nachvollziehen
>
> [mm]||f-p_{n}||[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= max { [mm]b^{\bruch{1}{\bruch{k-1}{n}}}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{b^{\bruch{k}{n}}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
, k=1,...,n }
>
> ich sehe darin, dass [mm]f=b^{\bruch{1}{\bruch{k-1}{n}}}[/mm]
> aber das ist ja nicht korrekt.
Doch das ist korrekt:
[mm]{max}\left\{{\vmat{\vmat{f-p_{n}}}, \ k=1,\ \dots \, \ n\right\}[/mm]
[mm]={max}\left\{{\vmat{\vmat{\bruch{1}{x}-p_{n}}}, \ k=1,\ \dots \, \ n \right\}[/mm]
[mm]={max}\left\{{\vmat{\vmat{\bruch{1}{x}-\bruch{1}{b^{\bruch{k}{n}} } }}, \ k=1,\ \dots \, \ n \right\}[/mm]
[mm]\le {max}\left\{ {max}\left\{ \vmat{ \vmat{\bruch{1}{x}-\bruch{1}{b^{\bruch{k}{n}}}}}, \ x \in \left[b^{\bruch{k-1}{n}}, \ b^{\bruch{k}{n}} \right] \right\} , \ k=1,\ \dots \, \ n\right\}[/mm]
Das Maximum für x wird angenommen, wenn x am kleinsten ist:
[mm]={max}\left\{{\vmat{\vmat{\bruch{1}{b^{\bruch{k-1}{n}}}-\bruch{1}{b^{\bruch{k}{n}} } }}, \ k=1,\ \dots \, \ n \right\}[/mm]
>
> Wie ist das Einsetzen der gegeben/gewählten Werte in
> [mm]||f-p_{n}||[/mm] zu verstehen ?
>
>
> Hab ich für [mm]p_{n}[/mm] was falsches gewählt? Wie überleg ich mir
> was ich wähle?
>
>
> Gruß
>
> SpoOny
>
>
>
Gruß
MathePower
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