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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:57 Mo 14.07.2008 | | Autor: | Merle23 |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{[0,1]^2}{\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2} d(x,y)} [/mm] |
Ich gebe folgendes ein:
[mm] Integrate[(x^2 [/mm] - [mm] y^2)/((x^2 [/mm] + [mm] y^2)^2), [/mm] {x, 0, 1}, {y, 0, 1}]
und es kommt pi/4 raus.
Dann geb' ich das ein:
[mm] Integrate[(x^2 [/mm] - [mm] y^2)/((x^2 [/mm] + [mm] y^2)^2), [/mm] {y, 0, 1}, {x, 0, 1}]
und es kommt -pi/4 raus.
Was mach' ich da falsch, bzw. was macht Mathematica da?
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Ich weiß ja nicht, wie weit eure Vorlesung schon ist, aber nach dem Satz von Fubini sollte meiner Meinung nach eine Vertauschung nicht möglich sein (Unstetigkeit in (0,0)), oder irre ich mich?
PS: Versuche doch einfach mal die Integrale direkt einzeln berechnen zun lassen...
[mm] $Integrate[f[x,y],\{x,0,1\},Assumptions \to \{ x \in Reals,y \in Reals \} [/mm] ]$
[mm] $Integrate[f[x,y],\{y,0,1\},Assumptions \to \{ x \in Reals,y \in Reals \} [/mm] ]$
Da sieht man gleich, dass da was unterschiedliches rauskommt...
(Die Assumptions sollte man machen, da sonst zunächst kein konkretes Ergebnis erscheint)
MfG Sunny
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:46 Mo 14.07.2008 | | Autor: | Merle23 |
Wir haben hier festgestellt, dass da eigentlich [mm] +\infty [/mm] rauskommen sollte (sofern wir uns nicht irren - so ganz sicher sind wir uns nicht dabei - zumindest ich).
Also wieso spuckt dann Mathematica irgend 'nen Wert raus, anstatt [mm] +\infty?
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:08 Di 15.07.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Wir haben hier
> festgestellt, dass da eigentlich [mm]+\infty[/mm] rauskommen sollte
> (sofern wir uns nicht irren - so ganz sicher sind wir uns
> nicht dabei - zumindest ich).
> Also wieso spuckt dann Mathematica irgend 'nen Wert raus,
> anstatt [mm]+\infty?[/mm]
Aber das hat dir sunshinekid doch schon gesagt: für diese Funktion gilt der Satz von Fubini nicht, weil sie nicht stetig ist.
Du sollst ausrechnen:
[mm] \integral_{[0,1]^2}{\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2} d(x,y)} [/mm]
aber du hast ausgerechnet:
[mm] \integral_0^1 \left(\integral_0^1 \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2} dx \right) dy = -\bruch{\pi}{4} [/mm]
beziehungsweise
[mm] \integral_0^1 \left(\integral_0^1 \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2} dy\right) dx = +\bruch{\pi}{4}[/mm]
Das ist schon ein starker Hinweis, dass das Integral über $d(x,y)$ nicht existiert.
Der andere wichtige Hinweis ist, dass das Integral
[mm] \integral_0^1 \left(\integral_0^1 \left|\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\right| dx \right) dy = \infty [/mm]
ist.
Wenn du nämlich das Integrationsgebiet in die zwei Dreiecke zerlegst, in denen $x<y$ bzw. $x>y$ ist, so existieren die beiden Teilintegrale nicht.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:00 Di 15.07.2008 | | Autor: | Merle23 |
Ok, danke. Heisst also, dass Mathematica mir das denken doch nicht abnimmt ^^
Wenn ich ein Integral eingebe und Mathematica gibt mir 'nen Wert, dann sollte man das doch mit Vorsicht genießen.
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