Integral über Dreieck < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:13 Mi 06.01.2010 | | Autor: | marc1601 |
| Aufgabe | | Gegeben sei die Funktion [mm] $f(x,y)=x^ny^m$. [/mm] Berechne das Integral über dem Dreieck [mm] $\Delta [/mm] := [mm] \{ (x,y) \in \IR^2 \ | \ 0 \le x \le 1, \ 0 \le y \le 1-x\}$. [/mm] |
Über $n$ und $m$ wurde leider nichts weiter gesagt, ich gehe daher einfach mal von $m,n [mm] \in \IN$ [/mm] aus.
Jetzt zu meiner eigentlichen Frage: Kann es sein, dass das Integral am Ende nicht wirklich lösbar ist? Ich habe den Ansatz
[mm] $\int_\Delta x^n y^m d_{\lambda}_2 [/mm] (x,y) = [mm] \int_0^1 \left( \int_{0}^{1-x} x^n y^m \ d_\lambda y\right) [/mm] \ [mm] d_\lambda [/mm] x = [mm] \int_0^1 x^n \left[ \frac{1}{m+1}y^{m+1} \right]_0^{1-x} [/mm] \ [mm] d_\lambda [/mm] x = [mm] \frac{1}{m+1}\int_0^1 x^n (1-x)^{m+1} [/mm] \ [mm] d_\lambda [/mm] x$.
Hier ist doch jetzt schluss, oder? Wenn für $m$ und $n$ jetzt konkrete Zahlen gegeben wären, könnte man da mit partieller Integration ran, aber so ist das doch einfach nicht möglich, oder?
Es verwirrt mich ein wenig, dass die Aufgabe ja suggeriert, das Integral sei lösbar. Hab ich recht oder einfach gerade ein Brett vor dem Kopf?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Marc,
> Gegeben sei die Funktion [mm]f(x,y)=x^ny^m[/mm]. Berechne das
> Integral über dem Dreieck [mm]\Delta := \{ (x,y) \in \IR^2 \ | \ 0 \le x \le 1, \ 0 \le y \le 1-x\}[/mm].
>
> Über [mm]n[/mm] und [mm]m[/mm] wurde leider nichts weiter gesagt, ich gehe
> daher einfach mal von [mm]m,n \in \IN[/mm] aus.
> Jetzt zu meiner eigentlichen Frage: Kann es sein, dass das
> Integral am Ende nicht wirklich lösbar ist? Ich habe den
> Ansatz
>
> [mm]\int_\Delta x^n y^m d_{\lambda}_2 (x,y) = \int_0^1 \left( \int_{0}^{1-x} x^n y^m \ d_\lambda y\right) \ d_\lambda x = \int_0^1 x^n \left[ \frac{1}{m+1}y^{m+1} \right]_0^{1-x} \ d_\lambda x = \frac{1}{m+1}\int_0^1 x^n (1-x)^{m+1} \ d_\lambda x[/mm].
>
> Hier ist doch jetzt schluss, oder? Wenn für [mm]m[/mm] und [mm]n[/mm] jetzt
> konkrete Zahlen gegeben wären, könnte man da mit
> partieller Integration ran, aber so ist das doch einfach
> nicht möglich, oder?
> Es verwirrt mich ein wenig, dass die Aufgabe ja
> suggeriert, das Integral sei lösbar. Hab ich recht oder
> einfach gerade ein Brett vor dem Kopf?
Vertausche die Integrationsreihenfolge, dann wird's bedeutend einfacher.
Berechne also
[mm] $\int\limits_{y=0}^{y=1-x} [/mm] \ [mm] \int\limits_{x=0}^{x=1}{y^mx^n \ dxdy}=\int\limits_{y=0}^{y=1-x}{y^m \ \cdot{} \ \left( \ \int\limits_{x=0}^{x=1}{x^n \ dx} \ \right) \ dy}$
[/mm]
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:04 Mi 06.01.2010 | | Autor: | marc1601 |
Danke schon mal für die Antwort. Die Idee hatte ich auch schon, aber dann erhalte ich doch
[mm] $\int_{y=0}^{y=1-x}{y^m \left( \int_{x=0}^{x=1}{x^n \ d_\lambda x}\right) \ d_\lambda y} [/mm] = [mm] \ldots [/mm] = [mm] \frac{1}{n+1} \int_{y=0}^{y=1-x} y^m [/mm] \ [mm] d_\lambda [/mm] y = [mm] \frac{1}{n+1}\frac{1}{m+1} (1-x)^{m+1}$,
[/mm]
und mein Ergebnis hängt noch von $x$ ab. Das sollte doch eigentlich nicht sein, oder? (Ist meine erste mehrdimensionale Integralaufgabe, wie man vielleicht merkt.)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:28 Mi 06.01.2010 | | Autor: | AT-Colt |
Beachte(t), dass die Integrationsgrenzen des einen Integrals vom Integrator des anderen abhängen. Die beiden Integrationen können zwar vertauscht werden, aber nicht ohne auch die Integrationsgrenzen anzupassen.
[mm] $\integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{1-x}{f(x,y) dy} dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{1-y}{f(x,y) dx} dy}$
[/mm]
Denn [mm] $\Delta [/mm] = [mm] \{(x,y) | 0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1-x\} [/mm] = [mm] \{(x,y) | 0 \le x \le 1-y, 0 \le y \le 1\}$, [/mm] Du musst ja wieder über dieselbe Menge integrieren. Einmal integrierst Du "die Waagerechten auf", einmal die Senkrechten.
Wirklich weiterbringen tut einen das hier also nicht.
Aber in Deinem Eingangspost bist Du doch schon beim Integranden [mm] $x^{n}(1-x)^{m+1}$ [/mm] angelangt, multipliziere den zweiten Faktor aus, den ersten dazu und integriere über das Polynom.
Du wirst einen Wert herausbekommen, der von $m$ und $n$ abhängt, da diese nicht weiter vorgegeben sind.
Nur zur Hilfestellung: [mm] $(a+b)^{n} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n}{\vektor{n \\ i}a^{i}b^{n-i}}$
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 Mi 06.01.2010 | | Autor: | marc1601 |
Danke für die Hilfestellung. Ich habe so das folgende Ergebnis erhalten:
[mm] $\int_\Delta [/mm] f(x,y) \ [mm] d_{\lambda_2} [/mm] (x,y) = [mm] \sum_{i=0}^{m+1} \binom{m+1}{i} \frac{(-1)^{n+i+1}}{(m+1)(n+i+1)}$. [/mm] Wenn jemand kurz Zeit hat, kann er das ja vielleicht einmal kurz überprüfen =).
Ich habe dann noch eine ganz ähnliche Frage. Dieselbe Funktion $f$ soll auch über dem Kreis $K:= [mm] \{ (x,y) \in \IR \ | \ x^2+y^2 \le r^2\}$ [/mm] mit $r>0$ integriert werden. Dort komme ich dann an die Stelle
[mm] $\frac{1}{m+1} \int_{-r}^r x^n \left[ y^{m+1}\right]_{-\sqrt{r^2-x^2}}^{\sqrt{r^2-x^2}} d_\lambda [/mm] x$
Ich hab mir überlegt: wenn $m$ ungerade ist, so ist $m+1$ gerade und [mm] $\left[ y^{m+1}\right]_{-\sqrt{r^2-x^2}}^{\sqrt{r^2-x^2}} [/mm] = 0$, sodass das gesamte Integral 0 wird.
Wenn $m$ aber gerade ist, so ergibt sich [mm] $\frac{2}{m+1} \int_{-r}^r x^n (\sqrt{r^2-x^2})^{m+1}$
[/mm]
Nun würde ich gerne [mm] $\frac{2}{m+1} \int_{-r}^r x^n (r^2-x^2)^{\frac{m+1}{2}}$ [/mm] schreiben und erneut den binomischen Lehrsatz (diesmal in der verallgemeinerten Fassung mit der unendlichen Reihe, weil ja der Exponent keine natürliche Zahl ist) anwenden. Ich bekomme dort nur Probleme mit der Konvergenz. Diese Reihe würde konvergieren, wenn [mm] $r^2/x^2 [/mm] < 1$ gilt, aber das ist ja nicht immer der Fall, da ja bspw. auch $x=r$ möglich ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:30 Mi 06.01.2010 | | Autor: | AT-Colt |
Dein Ergebnis sieht ganz gut aus, allerdings sage ich das ohne Gewähr, weil ich mich bei sowas selbst häufig vertue ^^;
Zu Deiner zweiten Frage: [mm] $\bruch{r^{2}}{x^{2}}$ [/mm] ist nie kleiner 1, höchstens gleich und i.A. größer, weil [mm] $r^{2} [/mm] = [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} \ge x^{2}$ [/mm] ist. Davon abgesehen ist es nur wichtig, dass der (betragsmäßig) kleinere Summand in [mm] $(x+y)^{\alpha}$ [/mm] den Exponenten k abbekommt und der größere den Exponenten [mm] $\alpha-k$.
[/mm]
$|x| = r$ gilt genau auf zwei Punkten des Kreises, also auf einer Nullmenge, sonst ist [mm] $\left|\bruch{x}{r} \right| [/mm] < 1$ und die Reihenentwicklung konvergiert.
|
|
|
| |
|
> Danke für die Hilfestellung. Ich habe so das folgende
> Ergebnis erhalten:
>
> [mm]\int_\Delta f(x,y) \ d_{\lambda_2} (x,y) = \sum_{i=0}^{m+1} \binom{m+1}{i} \frac{(-1)^{n+i+1}}{(m+1)(n+i+1)}[/mm].
> Wenn jemand kurz Zeit hat, kann er das ja vielleicht einmal
> kurz überprüfen =).
Hallo Marc,
ich habe dein Integral Mathematica gefüttert. Das
Ergebnis:
[mm] $\frac{m\,!*n\,!}{(m+n+2)\,!}$
[/mm]
Wenn ich dein Ergebnis, also die Summe, in Mathe-
matica eingebe, liefert es einen Term, den ich dann
noch umgeformt habe zu:
$\ [mm] (-1)^{n+1}*\frac{m\,!*n\,!}{(m+n+2)\,!}$
[/mm]
(ohne Gewähr...)
Bis auf das Vorzeichen scheint alles zu passen.
LG
|
|
|
|
