Integral über Besselfunktionen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:43 Mi 21.06.2006 | | Autor: | benta |
| Aufgabe | Man zeige für a>0, b>0 und n [mm] \in \IN_{0}:
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{-ax}x^{n+1}J_{n}(bx)dx} [/mm] = [mm] \bruch{a(\bruch{b}{2})^{n}(2n+1)!}{n!(a^{2}+b^{2})^{n+3/2}}
[/mm]
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Hallo, bei den [mm] J_{n} [/mm] handelt es sich um die Besselfunktionen:
[mm] J_{n}(x) [/mm] = [mm] (\bruch{x}{2})^{n} \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{k}(\bruch{x}{2})^{2k}}{k!(k+n)!}
[/mm]
Die Potenzreihe ist konvergent, also kann man die Summe vor das Integral ziehen (oder?), trotzdem komme ich nicht in die Nähe des angegebenen Ergebnises.
Bitte um Hilfe, mfg
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Hallo benta,
nur eine Idee: hast dus mal mit Induktion versucht? ich denke, direktes ausrechnen ist zum scheitern verurteilt: lieber für kleines $n$ aussage checken und den induktionsschritt mittels rekursions-beziehungen für besselfunktionen beweisen.
Gruß
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 Mi 21.06.2006 | | Autor: | benta |
Danke, das könnte funktionieren.
Ich arbeite gerade noch an einem ähnlichen Integral, nämlich
[mm] \integral_{0}^{\pi/2}{J_{0}(zcos(t)) *cos(t) dt} [/mm] = [mm] \bruch{sin(z)}{z}
[/mm]
durch Ausintegrieren bin ich zwar auf die Reihendarstellung für den sin gekommen, allerdings steht bei mir im Nenner [mm] (2^{n}m!)^{2}(2m+2).
[/mm]
Kann man das irgendwie auf (2n+1)! umformen?
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> Danke, das könnte funktionieren.
> Ich arbeite gerade noch an einem ähnlichen Integral,
> nämlich
> [mm]\integral_{0}^{\pi/2}{J_{0}(zcos(t)) *cos(t) dt}[/mm] =
> [mm]\bruch{sin(z)}{z}[/mm]
>
> durch Ausintegrieren bin ich zwar auf die Reihendarstellung
> für den sin gekommen, allerdings steht bei mir im Nenner
> [mm](2^{n}m!)^{2}(2m+2).[/mm]
> Kann man das irgendwie auf (2n+1)! umformen?
Wo ist denn das $m$ geblieben?
Gruß
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