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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:02 Di 25.10.2011 | | Autor: | nhard |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Berechne:
$\integral_{-R}^{+R}\integral_{-\wurzel{R^2-x^2}}^{\wurzel{R^2-x^2}}{\wurzel{x^2+y^2} dydx}$ |
Hallo liebes Forum.
Sehe ich das richtig, dass die Grenzen dieses Integrals ein Kreis mit dem Radius R darstellen?
Dann würde ich versuchen in Polarkoordinaten überzugehen:
$dydx=dA=r*drd\varphi$
$r=\sqrt{x^2+y^2}$
Mit den Grenzen für die Integration über einen Kreis mit dem Radius R erhalte ich dann:
$\integral_{-R}^{+R}\integral_{-\wurzel{R^2-x^2}}^{\wurzel{R^2-x^2}}{\wurzel{x^2+y^2} dydx}=\integral_{0}^{R}\integral_{0}^{2\pi}{r^2} d\varphi dr}=\bruch{2}{3}\cdot\pi\cdot R^3$
Das Entpspricht dem Volumen einer halben Kugel mit dem Radius R?
Bin mir nicht ganz sicher, ob ich mir die Grenzen richtig "hergeleitet" habe (falls sie überhaupt stimmen).
Stimmt Folgendes:
1.
$\integral_{0}^{+R}\integral_{-\wurzel{R^2-x^2}}^{\wurzel{R^2-x^2}}{1} dydx}$
Dieses Integral entpricht einem Integral über einen Halben Kreis:
[Dateianhang nicht öffentlich]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
2.
$\integral_{-R}^{+R}\integral_{0}^{\wurzel{R^2-x^2}}{1} dydx}$
Ist auch ein Halbkreis:
[Dateianhang nicht öffentlich]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
3.
$\integral_{0}^{+R}\integral_{0}}^{\wurzel{R^2-x^2}}{1} dydx}$
Ist ein viertelkreis:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Vielen Dank für eure Mühe!
lg
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Guten Tag nhard,
> Berechne:
>
> [mm]\integral_{-R}^{+R}\integral_{-\wurzel{R^2-x^2}}^{\wurzel{R^2-x^2}}{\wurzel{x^2+y^2} dydx}[/mm]
>
> Sehe ich das richtig, dass die Grenzen dieses Integrals einen
> Kreis mit dem Radius R darstellen?
Ja. Etwas genauer: Die Kreisscheibe mit Mittelpunkt O(0|0)
und Radius R.
> Dann würde ich versuchen in Polarkoordinaten
> überzugehen:
>
> [mm]dydx=dA=r*drd\varphi[/mm]
>
> [mm]r=\sqrt{x^2+y^2}[/mm]
>
> Mit den Grenzen für die Integration über einen Kreis mit
> dem Radius R erhalte ich dann:
>
> [mm]\integral_{-R}^{+R}\integral_{-\wurzel{R^2-x^2}}^{\wurzel{R^2-x^2}}{\wurzel{x^2+y^2} dydx}=\integral_{0}^{R}\integral_{0}^{2\pi}{r^2} d\varphi dr}=\bruch{2}{3}\cdot\pi\cdot R^3[/mm]
>
> Das Entpspricht dem Volumen einer halben Kugel mit dem
> Radius R?
Das stimmt zwar, ist aber dem Integranden nach nicht direkt
klar. Wenn man das Integral direkt als Volumenintegral
betrachtet, hätte man es mit einem anderen Körper als
einer Halbkugel zu tun, nämlich mit einem Drehkörper,
der aus einem Zylinder (Raiuus=Höhe=R) durch Ausbohren
einer kegelförmigen Vertiefung entsteht. Das Ganze erinnert
dann an die Idee, nach welcher Archimedes das Kugel-
volumen berechnet hat. ![[]](/images/popup.gif) Segner
> Bin mir nicht ganz sicher, ob ich mir die Grenzen richtig
> "hergeleitet" habe (falls sie überhaupt stimmen).
>
> Stimmt Folgendes:
>
> 1.
>
> [mm]\integral_{0}^{+R}\integral_{-\wurzel{R^2-x^2}}^{\wurzel{R^2-x^2}}{1} dydx}[/mm]
>
> Dieses Integral entpricht einem Integral über einen Halben
> Kreis:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Korrekt.
>
> 2.
>
> [mm]\integral_{-R}^{+R}\integral_{0}^{\wurzel{R^2-x^2}}{1} dydx}[/mm]
>
> Ist auch ein Halbkreis:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Stimmt ebenfalls.
>
> 3.
>
> [mm]\integral_{0}^{+R}\integral_{0}}^{\wurzel{R^2-x^2}}{1} dydx}[/mm]
>
> Ist ein viertelkreis:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Yep.
LG Al-Chw.
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![[]](http://did.mat.uni-bayreuth.de/~wn/Kugel/kugel2/segner.gif){kind=small}
Segner