Integral richtig berechnet? < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:27 Do 07.11.2013 | | Autor: | Sin777 |
Hallo, stimmt das Folgende oder habe ich irgendwo einen Fehler gemacht?
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{x*(x-2)}}dx} [/mm] ist zu berechnen.
Wenn ich [mm] t^2 [/mm] = x setze, so gilt dx = 2t*dt und das Integral vereinfacht sich zu [mm] \integral_{}^{}{\bruch{2}{\wurzel{t^2-2}}dt}. [/mm]
Nun klammere ich unter der Wurzel [mm] \bruch{1}{2} [/mm] aus und erhalte folgendes Integral: [mm] \wurzel{2}*\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{\bruch{t^2}{2}-1}}dt}
[/mm]
Nun substituiere ich nochmals mit [mm] v=\bruch{1}{\wurzel{2}}*t, [/mm] also [mm] dt=\wurzel{2}*dv, [/mm] und erhalte [mm] 2*\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{v^2-1}}dt} [/mm] = [mm] -2*\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{1-v^2}}dt} [/mm] = -2*arcsin(v) = [mm] -2*arcsin(\bruch{t}{\wurzel{2}}) [/mm] = [mm] -2*arcsin(\bruch{\wurzel{x}}{\wurzel{2}})
[/mm]
Danke für eure Bemühungen!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:11 Do 07.11.2013 | | Autor: | Sin777 |
Hallo nochmal. Ich habe falsche ausgeklammert.
[mm] 2\cdot{}\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{v^2-1}}dt}. [/mm] Nun klammere ich [mm] \bruch{1}{i} [/mm] beim Integranden aus und erhalte [mm] -2i\cdot{}\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{1-v^2}}dt}. [/mm] Also -2i und nicht -2. Dass [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{1-v^2}}dt} [/mm] = arcsin(v) ist habe ich in meinem Skript stehen und mir auch auch nochmals von Wolfram-Alpha bestätigen lassen.
Eine weitere Substitution ist also doch gar nicht nötig, oder?
Danke für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:33 Do 07.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo nochmal. Ich habe falsche ausgeklammert.
>
> [mm]2\cdot{}\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{v^2-1}}dt}.[/mm] Nun
> klammere ich [mm]\bruch{1}{i}[/mm] beim Integranden aus und erhalte
> [mm]-2i\cdot{}\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{1-v^2}}dt}.[/mm]
> Also -2i und nicht -2.
Wenn du in [mm] \IC [/mm] arbeiten willst, geht das.
> Dass
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{1-v^2}}dt}[/mm] = arcsin(v)
> ist habe ich in meinem Skript stehen und mir auch auch
> nochmals von Wolfram-Alpha bestätigen lassen.
Das ist ok, falls du in [mm] \IC [/mm] bist.
In IR hilft es, wenn du umschreibst.
$ [mm] \int\bruch{1}{\wurzel{x\cdot{}(x-2)}}dx [/mm] $
$ [mm] =\int\bruch{1}{\wurzel{x^{2}-2x}}dx [/mm] $
$ [mm] =\int\bruch{1}{\wurzel{x^{2}-2x+1-1}}dx [/mm] $
$ [mm] =\int\bruch{1}{\wurzel{(x-1)^{2}-1}}dx [/mm] $
>
> Eine weitere Substitution ist also doch gar nicht nötig,
> oder?
>
> Danke für eure Hilfe!
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:31 Do 07.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
du suchst eine reelle Funktion , da auch der Integrand reel ist, also manipuliere nicht mit i
wenn du Wolfram schon benutzt kontrolliere doch dein Vorgehen direkt mit dem uesprünglichen Integral!
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:14 Do 07.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, stimmt das Folgende oder habe ich irgendwo einen
> Fehler gemacht?
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{x*(x-2)}}dx}[/mm] ist zu
> berechnen.
>
> Wenn ich [mm]t^2[/mm] = x setze
.... und was machst Du wenn eine Stammfunktion von [mm] \bruch{1}{\wurzel{x*(x-2)}} [/mm] auf (- [mm] \infty,0) [/mm] gesucht ist ... ?
FRED
> , so gilt dx = 2t*dt und das Integral
> vereinfacht sich zu
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{2}{\wurzel{t^2-2}}dt}.[/mm]
>
> Nun klammere ich unter der Wurzel [mm]\bruch{1}{2}[/mm] aus und
> erhalte folgendes Integral:
> [mm]\wurzel{2}*\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{\bruch{t^2}{2}-1}}dt}[/mm]
>
> Nun substituiere ich nochmals mit
> [mm]v=\bruch{1}{\wurzel{2}}*t,[/mm] also [mm]dt=\wurzel{2}*dv,[/mm] und
> erhalte [mm]2*\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{v^2-1}}dt}[/mm] =
> [mm]-2*\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{1-v^2}}dt}[/mm] =
> -2*arcsin(v) = [mm]-2*arcsin(\bruch{t}{\wurzel{2}})[/mm] =
> [mm]-2*arcsin(\bruch{\wurzel{x}}{\wurzel{2}})[/mm]
>
> Danke für eure Bemühungen!
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Welcher Regel soll das folgen?
